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haft philosophischem Geiste und begründete auf ihn eine neue Wissen- 
schaft, die Ausdehnungslehre, welche sich ganz allgemein mit abstrakten, 
extensiven, stetigen Gröfsen und deren rein formalen Verknüpfungen be- 
schäftigt. Als konkrete Bilder dieser abstrakten Gröfsen erschienen die 
räumlichen Gebilde, Strecken, Flächen, Körperräume. Die rein formalen 
Verknüpfungen, die man arithmetische Operationen zu nennen pflegt, finden 
dadurch ihr reales, aber abstraktes Substrat und, geometrisch veranschau- 
licht, ihre konkrete reale Bedeutung. Das Werk, in welchem Grafsmann 
die Ideen seiner neuen Wissenschaft zum ersten Male entwickelte, hatte 
den Titel: ,,Die lineare Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathe- 
matik, dargestellt und durch Anwendungen auf die Statik, Mechanik, die 
Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert.“ Der 280 Seiten 
starke Band erschien im Jahre 1844 im Verlage von Otto Wiegand in 
Leipzig. 
Drei Jahre später gab die Jab lonowsky sehe Gesellschaft eine von 
ihr gekrönte Preisschrift Grafsmanns heraus: ,, Geometrische Analyse, 
geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik“. 
Bekanntlich hatte Leibniz in einem Briefe vom 8. September 1679 an 
Huygens den Gedanken ausgesprochen, es fehle uns eine rein geometrische 
oder lineare Analyse, welche direkt den situs ausdrückt, wie die Algebra 
die longitudo. Grafsmann wies in seiner Preisschrift nach, dafs seine 
neue Disziplin die Verwirklichung der von Leibniz geforderten Analyse 
sei. Die Preisschrift enthält Anwendungen auf Geometrie und Mechanik. 
Grafsmann vertiefte die formale Algebra in ungeahnter Weise be- 
sonders dadurch, dafs er das Wesen der Additions- und Multiplikations- 
Operationen in viel allgemeinerer Weise erfassen lehrte. Die wichtigsten 
Grundlagen für seine Reformen bilden zwei Multiplikations- Operationen, 
welche Grafsmann als „äufsere Multiplikation“ und ,, innere Multiplikation“ 
der Elemente e v e 2 , ... . bezeichnet. Das ,, äufsere Produkt“ zweier Strecken 
e 1 e 2 z. B. ist nach seiner geometrischen Analyse (1847) seinem numerischen 
Werte nach s 1 s 2 sin(a, e 2 ), wenn s 1 s 2 die absoluten Längen der beiden 
Strecken bezeichnen; ihr „inneres Produkt“ ist e 1 s 2 cos(e 1 e 2 ). Das Grund- 
gesetz der „äufseren Multiplikation“ ist (e 1 e 2 ) = — (e 2 e ± ), woraus sogleich 
(e t e 2 ) = 0 folgt; die Grundgesetze der „inneren Multiplikation“ sind (ej^) 
= 0, (eJ&j) — 1. Diesen unscheinbaren Anfängen entspringt ein ungeahnter 
Reichtum methodischer Hilfsmittel. Den Namen „Ausdehnungslehre“ hatte 
Grafsmann anfänglich mit Rücksicht auf seine „äufsere Multiplikation“ 
gewählt. Für eine Erweiterung auf alle anderen Systeme, die auf geo- 
metrische Einheiten aufgebaut sind, ist besonders charakteristisch die Ab- 
handlung: „Der Ort der Hamiltonschen Quaternionen in der Ausdehnungs- 
lehre“. Math. Ann. 12, vom Jahre 1877. Während Grafsmann mit n Ein- 
heiten e v e 2 , ... e n operiert, hatte Hamilton deren nur drei i,j, k mit Multi- 
plikationsregeln: ij = k= — j i , j k = i = — kj, k i =j = i k. Es mufs 
hervorgehoben werden, dafs die Ausbildung der Quaternionentheorie das 
Verständnis der Grafsmannschen Methoden wesentlich befördert hat. 
In den Jahren 1846 bis 1856 folgten nun mehrere Aufsätze Grafs- 
manns im Journal für Mathematik, Bd. 31 bis 52, in denen neue Ent- 
deckungen in der Kurven- und Flächentheorie unter Anwendung der neuen 
Analyse hergeleitet wurden. Die bedeutendsten derselben enthalten die 
nach Grafsmann benannte Erzeugung algebraischer Kurven 3. und 4. Ord- 
nung und aller algebraischen Flächen durch Bewegung gerader Linien. 
