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Da hierin nur Glieder dritter und zweiter Ordnung in den Koordinaten 
Vorkommen, stellt diese Gleichung eine rationale Kurve 3. Ordnung mit 
dem Doppelpunkte 0 dar. 
Man kann auf diese Weise jede rationale Kurve 3. Ordnung erzeugen; 
dabei können die Richtung der Gleitlinie und der erzeugende Winkel a 
beliebig gewählt werden; alles übrige ist dann dreideutig bestimmt. 
Eine rationale C s ist durch den Doppelpunkt 0, die Doppelpunkts- 
strahlen T x T 2 P s , auf denen die drei unendlich fernen Punkte liegen, die 
beiden Doppelpunktstangenten P 4 T b und einen Punkt P 6 bestimmt. Von 
den Doppelpunktstrahlen T ± T 2 P 3 entspricht einer, etwa T v dem Strahle 
S ± des Büschels A, der die Richtung der Gleitlinie G hat. Die Drei- 
deutigkeit der Bestimmung liegt darin, dafs man jede der Geraden T ± T 2 T s 
nach Belieben dem Strahle S ± entsprechen lassen kann. Hat man den 
erzeugenden Winkel a beliebig gewählt, so müssen S 2 und S s mit den 
entsprechenden T 2 und T s den Winkel a bilden. Ferner müssen die 
Doppelpunktstangenten P 4 und T b den Strahlen S, und S* entsprechen, 
/\ / N 
für die AQ^O = A Q b 0 = a ist. Nimmt man an Stelle des noch un- 
bekannten Punktes A einen beliebigen Punkt 5t an, zieht © 1 in der ver- 
langten Richtung der Gleitlinie, ferner © 2 und © 3 so, dafs sie mit T 2 und T s 
den beliebig gewählten Winkel a bilden, dazu (S 4 , 0> 5 und (& ß so, dafs 
©! ©2 © 3 ©4 ©5 ©6 X T t T, T % T, I\ T v 
wobei unter T ß der Strahl 0 P 6 gemeint sein soll, durchschneidet © 4 © 5 © 6 
mit einer Parallelen (3 zu © 1 in 0 4 0 5 0 6 , zieht die Geraden 0 4 0 und 0 5 0, 
die mit © 4 und @ 5 den Winkel a bilden, sowie durch ihren Schnittpunkt 0 
% ß || P 6 , und bestimmt auf $£ 6 so, dafs 51 0 6 = <x (oder bzw. 180° — «), 
so geht die mit den deutschen Buchstaben Gezeichnete Figur in die der 
entsprechenden lateinischen durch Perspektive ähnliche Abbildung über, die 
durch die beiden Paare entsprechender Punkte 0 und 0, sowie ^ß 6 und P 6 
bestimmt ist. Das Bild von 51 ergibt den Drehpunkt A, das von 0 4 O 5 
die Gleitlinie G. 
3. Auf Seite 48 (Fig. 3) entspricht in den beiden Parallelstrahlen- 
büscheln 0 und A der Strahl 0 A sich selbst, der zugehörige Kurven- 
punkt ist daher der Schnittpunkt von 0 A mit der 
Gleitlinie G. Hieraus folgt: Bewegt sich ein 
rechtwinkliges Dreieck PAG so, dafs die 
Hypotenuse PA einen festen Punkt 0 eines 
festen Kreises K enthält, die Ecke A den 
Kreis K beschreibt, und die Kathete AG 
ihre Gröfse und Richtung beständig beibe- 
hält, so beschreibt Peine bestimmte zirku- 
lare rationale C 3 , die 0 zum Doppelpunkte 
und deren reale Asymptote die Richtung der 
Katheten PC hat. Je nach der Länge der Ka- 
thete AG im Verhältnisse zum Durchmesser von 
K usw. ist 0 ein eigentlicher Doppelpunkt, ein 
vereinzelter Punkt oder ein Rückkehrpunkt. 
Ist der Ort von A nicht ein Kreis, sondern ein anderer Kegelschnitt, 
so ist die erzeugte Kurve nicht eine zirkulare, sondern eine gewöhnliche 
rationale Kurve 3. Ordnung. Denn ist 0 der Nullpunkt, hat der Kegel- 
schnitt die Gleichung 
Fig. 6. 
