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a M + cL — R 
? 
a 
1 c L — R 
k ^ a 
8. Gleitet der Scheitel P eines beständigen Winkels a entlang einer 
zirkularen rationalen Kurve 3. Ordnung, während ein Schenkel den Doppel- 
punkt 0 enthält, so werden die anderen Schenkel von den dem Winkel a 
zugehörigen Gleitlinien in Punktreihen geschnitten, die zu dem Büschel der 
Strahlen OP projektiv sind. 
Man kann nun ganz allgemein nach den Geraden fragen, die die be- 
zeichneten Geraden in Punkten schneiden, die den OP projektiv ent- 
sprechen. Setzt man die Kurvengleichun g in der Form voraus 
y (x 2 -f- y 2 ) — d x 2 + M x y + Ny 2 = 0, 
so enthält die Kurve für jedes X den Punkt 
d — MX — NX* 
y_\x,X— + 
Die Gerade PQ hat die Gleichung 
. X 4- tan a 
x >- Xx = T=jÄ^- a 
(£ — *) 
oder 
p (1 — X tan a) -|- (1 -f- X 2 ) tan a • x — (X -f- tan «) £ = 0. 
Ersetzt man hierin den obigen Wert für x, so folgt 
X (1 — X tan a) p -f- (d — MX — NX 2 ) tan a — {X 2 + X tan a) £ === 0, 
oder, nach X geordnet, 
(p tan a + N tan a -f £) X 2 + (M tan a — p -f" y tan a) X — d tan a — 0. 
Soll hierdurch eine projektive Beziehung ausgedrückt werden, so mufs 
diese quadratische Funktion von X in zwei rationale lineare Faktoren zer- 
fallen, deren einer £ und p nicht enthält, und weggelassen werden kann. 
Im einfachsten Falle ist dies der Faktor X -f- tan «, er teilt die quadratische 
Form unter der Bedingung 
(1 + tan 2 a ) p + N tan 2 a — M tan a — d = 0; 
die projektive Beziehung folgt aus 
X (p tan a N tan « + £) — d = 0. 
Nimmt man dagegen allgemeiner X + u als abzuscheidenden Faktor, so 
ergibt sich als Bedingung für die Teilbarkeit eine lineare Gleichung, die 
neben p auch £ enthält. Man erkennt hieraus, dafs für jedes a und jedes u 
eine bestimmte Gerade vorhanden ist, auf die die C s durch die angegebene 
Konstruktion in einer projektiven Reihe abgebildet wird. 
9, Schneidet man eine rationale zirkulare C s durch eine 
Strahleninvolution, deren Träger der Doppelpunkt O ist, und 
zieht durch jeden Punkt P der Kurve eine Gerade PQ, die mit 
OP den beständigen Winkel a bildet, so schneiden sich je zwei 
Gerade PQ und P f Q', deren zugehörige Doppelpunktstrahlen 
OP und OP' ein Paar der Involution bilden, in Punkten einer 
bestimmten Geraden. 
