YI. Über Lichtgrenzkurven und geodätische Linien.*) 
Von Prof. Dr. E. Naetsch. 
Wenn eine gesetzmäfsig gestaltete krumme Fläche mittels paralleler 
Lichtstrahlen — also von einer unendlich fernen Lichtquelle aus — be- 
leuchtet wird, so ergibt sich als Grenze zwischen dem beleuchteten und 
dem unbeleuchteten Teil der Fläche eine Kurve, welche sich geometrisch 
folgendermafsen charakterisieren läfst: Die Tangentialebenen, welche unsere 
Fläche in den Punkten dieser Kurve berühren, sind einer gegebenen festen 
Richtung parallel; oder: die Flächennormalen, welche zu den Punkten 
dieser Kurve gehören, stehen auf einer gegebenen festen Richtung senk- 
recht; oder: die Developpable, welche unserer Fläche längs dieser Kurve 
umbeschrieben werden kann, ist eine Zylinderfläche; oder auch: das 
sphärische Bild dieser Kurve ist ein Hauptkreis der Bildkugel. Eine Kurve 
von dieser Beschaffenheit wollen wir eine Lichtgrenzkurve unserer 
krummen Fläche nennen. 
Um zu erfahren, wie viele Lichtgrenzkurven auf einer gegebenen 
krummen Fläche vorhanden sind, bedenken wir, dafs sich für jede mög- 
liche Lichtstrahlrichtung eine bestimmte Lichtgrenzkurve ergibt und dafs 
zu zwei verschiedenen Lichtstrahlrichtungen im allgemeinen**) auch zwei 
verschiedene Lichtgrenzkurven gehören. Die Anzahl der fraglichen Kurven 
wird hiernach mit der Anzahl der im Raume möglichen Richtungen über- 
einstimmen, d. h. also auf einer gegebenen krummen Fläche wird es im 
allgemeinen oo 2 Lichtgrenzkurven geben. Analytisch mufs sich die Schar 
dieser oo 2 Kurven charakterisieren lassen durch eine gewöhnliche Differential- 
gleichung II. Ordnung oder durch eine endliche Gleichung mit zwei will- 
kürlichen Konstanten. 
Ein bemerkenswerter Umstand bietet sich dar, wenn es sich um eine 
Kugeloberfläche handelt. Jede Lichtgrenzkurve einer solchen Fläche ist 
ja ein Hauptkreis und mithin zugleich eine geodätische Linie der Fläche; 
und umgekehrt ist jede geodätische Linie ebenfalls ein Hauptkreis und 
mithin zugleich eine Lichtgrenzkurve. Auf einer Kugeloberfläche ist also 
die Schar der oo 2 Lichtgrenzkurven identisch mit der Schar der oo 2 geo- 
dätischen Linien. 
*) Nach einem in der mathematischen Sektion der naturwissenschaftlichen Gesell- 
schaft Isis gehaltenen Vortrag. 
**) Eine Ausnahme findet statt, wenn die betreffende Fläche abwickelbar ist. Von 
diesem Fall wird im folgenden noch die Rede sein. 
