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Es dürfte nicht ohne Interesse sein, festzustellen, ob die Kugelober- 
flächen die einzigen Flächen sind, welche diese Eigenschaft besitzen. Zu 
diesem Zweck fragen wir: 
Wie mufs eine krumme Fläche beschaffen sein, wenn die 
Schar ihrer oo 2 Lichtgrenzkurven identisch sein soll mit der 
Schar ihrer oo 2 geodätischen Linien?*) 
Bei Beantwortung dieser Frage können wir von vornherein die ab- 
wickelbaren Flächen ausscheiden, denn man überzeugt sich leicht, dafs 
auf einer abwickelbaren Fläche zwar jede Lichtgrenzkurve eine geodätische 
Linie ist (nämlich eine Gerade oder ein System von mehreren Geraden), 
aber nicht jede geodätische Linie eine Lichtgrenzkurve werden kann; denn 
die geodätischen Linien einer abwickelbaren Fläche sind im allgemeinen 
krumme Linien, und die längs einer krummen Linie um die Fläche be- 
schriebene Developpable ist identisch mit der Fläche selbst. 
Infolge des Ausscheidens der abwickelbaren Flächen kann die gestellte 
Frage folgendermafsen analytisch eingekleidet werden: 
Wie mufs die Funktion f (x, y) beschaffen sein, wenn die 
Gleichung 
z = ffay) 
eine nicht abwickelbare Fläche darstellen soll, auf welcher die 
Lichtgrenzkurven identisch sind mit den geodätischen Linien? 
Es entsteht also das Problem, eine unbekannte Funktion zweier 
Variabein zu ermitteln, welche gewisse Bedingungen zu erfüllen hat. Im 
folgenden wird sich herausstellen, dafs die verlangte Funktion einem 
System von vier partiellen Differentialgleichungen III. Ordnung Genüge zu 
leisten hat, welches sich aber reduzieren läfst auf ein System von zwei 
partiellen Differentialgleichungen II. Ordnung; ersteres System ist be- 
schränkt integrabel, letzteres ist unbeschränkt integrabel. Daher gibt es 
schliefslich oo 4 gemeinsame Lösungen aller dieser Differentialgleichungen 
und mithin auch oo 4 Flächen von der gewünschten Beschaffenheit; wir 
werden sehen, dafs dies genau die oo 4 Kugeloberflächen des Raumes sind. 
1 . 
Um das Problem in Angriff nehmen zu können, denken wir uns die 
gewünschte Fläche auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem (x, y, z) be- 
zogen und durch eine Gleichung von der Form 
(1) z = f(x, y) 
dargestellt; geben sodann für diese Fläche einerseits die Differential- 
gleichung ihrer oo 2 Lichtgrenzkurven, andererseits die Differentialgleichung 
ihrer oo 2 geodätischen Linien an — in beiden Fällen handelt es sich um 
gewöhnliche Differentialgleichungen II. Ordnung zwischen den zwei Veränder- 
lichen x und y\ und stellen schliefslich die Bedingungen dafür auf, dafs 
diese beiden Differentialgleichungen miteinander identisch werden sollen. 
Es werden sich vier Bedingungsgleichungen ergeben, welche die partiellen 
Ableitungen der Funktion f(x, y) — bis zur III. Ordnung einschliefslich — 
enthalten, welche also ein System von vier partiellen Differentialgleichungen 
III. Ordnung mit der unbekannten Funktion f(x, y) bilden. 
*) Die sphärischen Bilder der geodätischen Linien einer solchen Fläche sind offen- 
bar identisch mit den geodätischen Linien der Bildkugel. 
