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Der Bequemlichkeit halber wollen wir die partiellen Ableitungen der 
Funktion f(x, y) abgekürzt bezeichnen; nämlich 
die Ableitungen I. Ordnung durch p, 
II. 
05 
r, s, t\ 
55 55 III. 55 55 ^5 ßl 7 5 
Es finde nun eine Parallelbeleuchtung der Fläche statt, und zwar 
seien A : B : C die Richtungskoeffizienten für die Lichtstrahlrichtung. Dann 
mufs längs der Lichtgrenzkurve, weil die Richtungskoeffizienten der Flächen- 
normale bekanntlich p : q: — 1 sind, die Gleichung 
A . p + B . q — C = 0 
bestehen; diese ist, wenn die Fläche, also auch die Funktion f(x, y), als 
gegeben angesehen wird, eine Relation zwischen x und y und kann als die 
Gleichung der betreffenden Lichtgrenzkurve (eigentlich der at?/- Projektion 
dieser Kurve) angesehen werden. Will man alle Lichtgrenzkurven der 
Fläche haben, so braucht man blofs A, B , C als willkürliche Konstanten 
anzusehen; dann enthält die vorige Gleichung aufser x und y noch zwei 
A B 
wesentliche Parameter — nämlich und ^ — und stellt mithin die 
sämtlichen oo 2 Lichtgrenzkurzen unserer Fläche dar; sie ist die endliche 
Gleichung dieser Kurven. Aus ihr mufs sich die Differentialgleichung der 
Lichtgrenzkurven ergeben durch zweimaliges Differenzieren nach x und 
nachherige Elimination der beiden Parameter. Nun findet man durch die 
Differentiation der obigen Gleichung zunächst die beiden Formeln 
Ä ■ (r + s y') + B . (s + ty') = 0, 
Ä.(a + 2 ßy' -f- yy ' 2 + sy") + B . (ß + 2yy' + <V 2 + ty") = 0, 
und durch die Elimination der Parameter schliefslich die Relation 
welche sich 
Jb 
<b 
— 1, 
auch 
r + sy\ a 2ßy' + yy' 2 + sy" 
s + ty', ß + 2yy' + dy'* + ty" 
0 , 0 
=r= 0, 
(2) (rt — s 2 ) . y" = ccs — ßr -f (ati- 1- ßs — 2/r) . y' + {%ßt — ys — Sr) . y' 2 
+ (yt — ds).y' s 
schreiben läfst, als die gewünschte Differentialgleichung der Lichtgrenz- 
kurven unserer Fläche (1). 
Andererseits kann, wie als bekannt vorausgesetzt werden möge, die 
Differentialgleichung der geodätischen Linien dieser Fläche 
(1 -| -p' + g 3 ) . y" = (r + 2 sy’ 4 - ty' 2 ) . (— q +py'), 
oder 
(3) (1 +P 2 + g 2 ) -y" = — rq + (rp — 2 sq) . y’ 4 - ( 2 sp —tq).y' 3 + tp. y' s 
geschrieben werden. 
Wie man sieht, haben beide Differentialgleichungen dieselbe Form; 
die eine wie die andere bringt zum Ausdruck, dafs y n eine ganz rationale 
Funktion dritten Grades von y' ist, deren Koeffizienten von x und y ab- 
hängen.*) 
*) Die Division der Gleichung (2) durch den Faktor rt — s 2 und die Division der 
Gleichung (3) durch den Faktor 1 -f-p 2 + (f ist sicher gestattet, da diese beiden Faktoren 
für eine nichtabwickelbare Fläche keinesfalls identisch verschwinden können. 
