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Damit nun, wie wir verlangen, auf der Fläche (1) die Schar der oo 2 
Lichtgrenzkurven identisch werde mit der Schar der oo 2 geodätischen 
Linien, ist offenbar notwendig und hinreichend, dafs die beiden Differential- 
gleichungen (2) und (3) identisch übereinstimmen; und dies ist, wie man 
sich leicht überzeugt, nur dann, aber auch stets dann der Fall, wenn die 
Koeffizienten der einen Gleichung den entsprechenden Koeffizienten der 
andern Gleichung beziehungsweise gleich sind. Es ergeben sich somit die 
vier Bedingungsgleichungen 
as — ßr — rq at-\- ßs — 2 yr rp — 2sq 
rt — s 2 1 V + q v H. — 6 2 1 -\-p~ p v 
2 ßt — ys — ^ r — tq yt — Ss tp 
rt — s 2 i + p 2 + q v r t —~ s * i -f^ 2 + q 2 ' 
dieselben sind, wie vorausgesagt wurde, in der Tat vier partielle Differential- 
gleichungen III. Ordnung mit der unbekannten Funktion f(x, y). Für die 
weitere Behandlung ist es zweckmäfsig, diese Gleichungen nach a , ß, y, 6 
aufzulösen, sie also in der Form 
( 4 ) 
3 r 2 p + 3 rsq 
T+FTF’ 
3 rsp -f- {rt -j- 2 s 2 ) q 
-1 + p 2 + q 2 5 
(rt -\- 2 s 2 )p -f- Sstq 
i o i o 5 
+p + r 
3sf^ + 3fg 
r|isn 
zu schreiben. 
Das Ergebnis der bisherigen Überlegungen kann in dem Satze aus- 
gesprochen werden: 
Damit die Gleichung (1) eine nicht abwickelbare Fläche dar- 
stelle, auf welcher die Lichtgrenzkurven identisch sind mit den 
geodätischen Linien, ist notwendig und hinreichend, dafs die 
Funktion f (x, y) eine gemeinschaftliche Lösung der vier par- 
tiellen Differentialgleichungen III. Ordnung (4) ist. 
2 . 
Wenn vier partielle Differentialgleichungen III. Ordnung von der Form 
« **= A (x, y, z, p, q, r, s, t), 
ß = B (x, y, z, p, q, r, s, % 
y = T (x, y , g, p, q, r, s, t\ 
6 = J (x, y , e, p, q, r, s, t), 
in denen J, B , E, J Funktionen der beigefügten Argumente bedeuten, eine 
gemeinschaftliche Lösung f(x, y) besitzen sollen, so mufs letztere, weil 
allgemein 
dß da dy d ß dS dy 
d x d y* dx d y' dx dy 
ist, jedenfalls auch den Relationen 
(6) ^ B dÄ ^ dr dB ^ dJ dr ^ 
dx dy ’ dx dy ’ dx dy 
