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Genüge leisten, in denen zur Abkürzung 
dn 
dx 
an Stelle von 
+, ^ + r *L> +siü + A *4i +B *n + r *o 
und 
d( 
dz 
an Stelle von 
dp d q 
d r 
d s 
d t 
d_n 
dp 
H) 
dq 
ttt + 1 tt + s ~äzt + * 3~r + B + r x: + J 
dn 
d r 
H) 
d s 
d u 
d t 
d y 
d n +q d u 
dy ^ 1 de 
geschrieben ist. 
Nun sind zwei Fälle denkbar: 
Der erste Fall liegt vor, wenn die Relationen (6) blofse Identitäten 
sind. Dann besitzen die vier partiellen Differentialgleichungen (5) oo 6 gemein- 
schaftliche Lösungen,*) deren Ermittelung übrigens die Integration eines 
zweigliedrigen Jacobischen Systems in acht Veränderlichen erfordert. Von 
den gegebenen Gleichungen (5) sagt man in diesem Falle, sie bilden ein 
unbeschränkt integrables System partieller Differentialglei- 
chungen III. Ordnung. 
Der zweite Fall liegt vor, wenn die Gleichungen (6) keine blofsen 
Identitäten sind, sondern vielmehr — da sie alsdann xyzpqrst ent- 
halten werden — partielle Differentialgleichungen II. Ordnung. Dann mufs 
jede gemeinschaftliche Lösung der Gleichungen (5) auch diesen Differential- 
gleichungen II. Ordnung Genüge leisten. Wenn es in diesem Fall über- 
haupt eine gemeinschaftliche Lösung gibt, so ist die Anzahl der etwa in 
ihr enthaltenen willkürlichen Konstanten geringer als im ersten Fall. Man 
wird alsdann das System (5) passend als beschränkt integrabel be- 
zeichnen. 
3. 
Um nun die vier partiellen Differentialgleichungen III. Ordnung (4), 
auf welche unser geometrisches Problem geführt hat, nach den soeben 
entwickelten Gesichtspunkten zu untersuchen, bezeichnen wir die rechten 
Seiten dieser Gleichungen der Reihe nach mit A, B , F, J und finden dann 
nach einigen Rechnungen 
dB d A _ 2 (rt — s 2 ) 
d x d y ~ (l p 2 g 2 ) 2 
dr dB 
rt — s 2 
d x 
dJ 
d x 
d y 
dT 
dy 
(1 +** + «? 
2 (rt — s 2 ) 
r.(l+2 a )~Ml+y) 
»•(1+ä 2 )— t-PQ. 
(1 +P* + 
das System (4) ist also jedenfalls nicht unbeschränkt integrabel. Vielmehr 
mufs jede etwa vorhandene gemeinschaftliche Lösung der obigen Differential- 
gleichungen auch noch denjenigen Relationen Genüge leisten, welche sich 
durch Nullsetzen der soeben gefundenen drei Ausdrücke ergeben; und 
diese drei Relationen reduzieren sich, da durch den Faktor rt — s 2 divi- 
diert werden darf, schliefslich auf die beiden von einander unabhängigen 
Gleichungen 
*) D. h. natürlich eine gemeinschaftliche Lösung f(x, y : c t] c 2 , c 3 , c 4 , c 5 , c 6 ), welche 
aufeer x und y noch sechs wesentliche Konstanten enthält, die in den Differentialglei- 
chungen (5) nicht Vorkommen dürfen. 
