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(7) 
1+f 
s, t 
1 + Q' 
s, 
pq pq 
also auf ein System von zwei partiellen Differentialgleichungen II. Ord- 
nung. Umgekehrt leistet jede gemeinschaftliche Lösung der beiden Diffe- 
rentialgleichungen (7) auch den ursprünglichen vier Differentialgleichungen 
(4) Genüge; denn aus den Gleichungen (7) ergeben sich durch Differen- 
tiation nach x und y die Formeln 
/ Q \ o 1 + r 2 o 1 “f“ 3j9 2 2 l-j-Bg' 2 9 r, Q l + g 2 
(8) « == 3 — ' ^ . s 2 , ß= - : ‘ 2 M • s 2 , Y= — • s * d = 3 1 * 
p 2 q 
pq° p a q pp 
und wenn man r, £, «, /?, y, d aus den Formeln (7) und (8) in die Glei- 
chungen (4) substituiert, so verwandeln sich die letzteren in Identitäten. 
Hiernach ist die Aufgabe, alle gemeinschaftlichen Lösungen 
der vier partiellen Differentialgleichungen III. Ordnung (4) zu er- 
mitteln, zurückgeführt auf das einfachere Problem, alle ge- 
meinschaftlichen Lösungen der zwei partiellen Differential- 
gleichungen II. Ordnung (7) zu finden. 
Die Differentialgleichungen (7) ihrerseits, die sich übrigens auch 
r s t 
T+F 
oder 
>2 1 + 2 ' 
r:s:t = ( 1 + p*) : pq:(l + g 2 ) 
schreiben lassen, können geometrisch gedeutet werden; sie sagen aus, dafs 
auf der Fläche (1) in jedem Punkte die beiden Hauptkrümmungsrichtungen 
unbestimmt sind, dafs also die Fläche aus lauter Punkten sphärischer 
Krümmung (Nabelpunkten) besteht. Diese Eigenschaft aber kommt be- 
kanntlich nur den Kugeloberflächen zu*), welche hiernach als die einzigen 
(nicht abwickelbaren) Integralflächen der Differentialgleichungen (7) ■ — und 
also auch der Differentialgleichungen (4) — zu gelten haben. 
Somit gelangen wir zu dem Schlufsergebnis: 
Die einzigen Flächen, auf denen die Lichtgrenzkurven 
identisch sind mit den geodätischen Linien, sind die oo 4 Kugel- 
oberflächen des Raumes. 
Anmerkung. Das System der beiden partiellen Differentialgleichungen 
(7) 
1 + + 
pq 
s, t = 
1 + 1 
pq 
kann natürlich, auch ohne dafs der in der vorigen Eufsnote erwähnte Kunstgriff 
benutzt wird, lediglich auf Grund der allgemeinen Theorie der Systeme von 
partiellen Differentialgleichungen II. Ordnung behandelt werden.**) Man mufs 
in diesem Falle zunächst die erste Gleichung des Systems (7) nach z/, die zweite 
nach x differenzieren und die beiden entstehenden Relationen nach ß und y auf- 
lösen ; dann ergeben sich die zwei Gleichungen 
*) Ein einfacher Beweis hierfür, bei welchem direkt von den Differentialgleichungen 
(7) ausgegangen und die Integration derselben mit Hilfe eines eleganten Kunstgriffs 
vollzogen wird, findet sich bei J. Knoblauch: Einleitung in die Theorie der krummen 
Flächen, § 17. 
**) Betreffs der hier in Frage kommenden Sätze vergleiche die Abhandlung von 
L. Bianchi: Sülle soluzioni comuni a due equazioni a derivate parziali del 2 ° ordine 
con due variabili (Atti della Reale Accademia dei Lincei, Seria IVa, Vol. II), insbesondere 
S. 221—222 des angeführten Bandes. 
