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(9) ß = — • s 2 , y = — —2 — • s' 
w p 2 q pq 2 
also zwei partielle Differentialgleichungen III. Ordnung. Nun hat jede Lösung 
des Systems (7) offenbar auch den beiden Gleichungen (9) Genüge zu leisten; mithin 
d y d ß 
auch noch der wegen — = — aus diesen beiden Gleichungen folgenden Relation 
1 +3g 2 
TJ /l+^q_ s ,\ 7 /M_3^_ 52 \ 
V pq ) \ p q ) 
pq / \ p q 
in welcher U und V zwei durch die Formeln 
U((P)-: 
V(0>) 
d Q) 
d x 
da* 
+ p 
d 0 
d z 
P 
pq 
. d 0 . d 0 
d~y +q -~d~z +S 'J^ 
d<D , d<t> , 14 - 3» 2 
\~ S • A 2 S 
dp dq p 2 q 
1 + q 2 d (& 
1 + 3 i 
Ö 0 
~57 
Ö 0 
d s 
eine blofse 
pq d q p q 2 
definierte Operationssymbole sind. Diese Relation aber ist 
Identität, wie sich beim Ausrechnen zeigt. Hieraus folgt bereits, dafs unser 
System (7) unbeschränkt integrabel ist, dafs also die beiden Gleichungen, aus 
denen es besteht, eine gemeinschaftliche Lösung mit vier willkürlichen Kon- 
stanten besitzen müssen. Um diese Lösung zu finden, hat man die beiden linearen 
partiellen Differentialgleichungen 
(10) ü(0) = O, V(0) = O 
aufzustellen, in denen 0 eine unbekannte Funktion der sechs Variabein x, y, z , 
p , q, s bedeutet; diese beiden Gleichungen bilden, wie sich leicht nachweisen läfst, 
ein zweigliedriges Jacobisches System*) und haben infolgedessen vier von einander 
unabhängige gemeinschaftliche Lösungen ; solche Lösungen sind, wie man sofort 
verifizieren kann, die vier Funktionen 
„ P 2 2 „ Ptf , i Pi JPsVl +p*-\-<F 
s ’ V s ’ + s ’ s 
Nun hat man diese vier Lösungen des Jacobischen Systems (10) ebensovielen will- 
kürlichen Konstanten c t , c 2 , c 3 , c 4 , gleichzusetzen, also die vier Relationen 
p 2 q pq 2 , p q ^ p q\ 1 p 2 
—— — c i? y 
o 
( 11 ) 
X 
z + v* 
s 
+ q 2 
' 3 1 
zu bilden, und die letzteren nach z, p, q , s aufzulösen; dabei ergeben sich die 
Gleichungen 
z = C S + VV— Cc—Ci ) 2 - ( y—c 2 y , p = ~ ^ 
( 12 ) 
— (y — e 2 ) 
v< 
-{x-CiY — {y 
--(* — c i)(y— c a ) 
q Vc 4 2 — (» — c if — (y — « 2 ) 2 s [Vc 4 2 — (* — hf — (v — «s ) 2 ] 3 
Die erste dieser Gleichungen ist alsdann die verlangte allgemeinste Integral- 
gleichung des Systems (7), und diese Gleichung enthält in der Tat vier willkür- 
liche Konstanten. Geometrisch gedeutet aber stellt sie offenbar genau die oo 4 
Kugeloberflächen des Raumes dar. 
*) Vergl. etwa Goursat-Bourlet: Legons sur lintegration des equations aux 
derivees partielles du premier ordre, § 26. 
