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Zeichnung. 
Der Punkt F. H' sei der Spiegelpunkt von H in Beziehung auf 
die sc- Achse. Dann liegt F auf OH', und zwar ist 
OF : OH' = a 2 -f b 2 :a 2 — b 2 . 
Die Hyperbel H ± — 0. Aus (5) und (9) ergibt sich, dafs ihr Mittel- 
punkt M die Verbindungslinie HF halbiert. Die Asymptoten sind den 
Koordinatenachsen parallel. Weiter geht die Hyperbel durch die Punkte 
H und 0. Es sei bemerkt, dafs sich dies von vornherein ergibt. Ist 
nämlich h = 0, so entartet der Kegel, und es fällt seine Spitze S mit H 
zusammen. Ist andererseits 7/ = oo, so entartet dieser schiefe elliptische 
Kegel zu einem geraden elliptischen Zylinder, und es liegt die Projektion 
von S in 0. 
Das Kreisbüschel' U = 0 bei variierendem h. 
Die gemeinsame Sekante ist OH'. Auf ihr liegt der Schnittpunkt F. 
Für den anderen Schnittpunkt G ergibt sich aus dem Absolutglied der 
Kreisgleichung OG • OF ~ a 2 -(- b 2 . Auch ist OG-OH' = e 2 . 
Koordinaten des Schnittpunktes G: 
(10) 
x =■ p 
p 2 + q 1 
y= — Q 
a 2 — b 2 
p 2 -f- q 2 
Man kann das Büschel auch noch auf andere Art bestimmen. Für 
li— 0 ergibt sich die eine Kegelachse als das in H auf die Ebene er- 
richtete Lot. Die beiden anderen sind die auf einander senkrechten 
Harmonikalen des Punktes H. Man erhält sie bekanntlich, indem man 
die Winkel der Brennstrahlen dieses Punktes halbiert. Schneidet man 
dieselben durch die Polare von H, so erhält man das *Polardreieck für 
den Fall h = 0. Der ihm umgeschriebene Kreis ergibt das Büschel. 
Der Kreis ^ = 0. 
Sucht man die Potenz des Punktes M für diesen Kreis, so erhält 
+ 7i 2 ) = — {MW + W) — — MS\ 
M liegt also innerhalb des Kreises. Man trage auf MH von M aus 
die Länge MS 2 : MF ab und erhält so den zweiten Schnittpunkt des 
Kreises mit FM. 
man 
q 2 a A i_p 2 b 
Die reziproke Polare der Hyperbel = 0 für die Ellipse ist 
ein Kegelschnitt, dem sämtliche Polardreiecke, die man durch Variieren 
von li erhält, anbeschrieben sind. Da die Hyperbel durch 0 geht, mufs 
dieser Kegelschnitt eine Parabel sein. Sie mufs aufserdem die Achsen 
berühren, also geht ihre Direktrix durch 0 und ebenso durch H. Der 
Brennpunkt liegt auf allen den Dreiecken umgeschriebenen Kreisen, also 
ist er einer der Schnittpunkte des Büschels. Er ist Punkt G. 
Man setze in die linke Seite der Gleichung (3) im Hinblick auf die 
Punkte 0, H, M für x die Werte ein: 0, p*p -f- oo, so erhält man der 
Reihe nach — a 4 p 2 , -)- h 2 p 2 b 2 , — a 4 b 2 p 2 q 2 : e 4 , + oo. 
Hiernach liegen die Punkte P 1 und P 2 auf dem Hyperbelast durch 
0 und H, und zwar liegt P 1 zwischen 0 und H, P 2 auf der Verlängerung 
des Bogens OH über H hinaus. P 3 gehört dem anderen Hyperbelast an. 
