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Ferner mufs von den drei Punkten einer im Innern der Ellipse liegen, 
die beiden anderen liegen aufserhalb. 
Ihre Koordinaten seien x v y x ; x 2 , y 2 \ a? 8 , y s . Dann gelten die Gleichungen 
x i x 2 | Vi V-2 i x 2 x s | y 2 y% i x s x ± ■ i y& y^ i 
a 2 "t" b 2 a 2 “D h 2 a 2 ^ b 2 
Hieraus ergibt sich: 
X l) ( X 2 ~~ X l) ^ 
2/2 2/3 a 2 
Da nun a 3 >aq, x 2 > x 1 , ?/ 2 >0, 2/3 < 0, 
so ist 
yl_ 
b 2 
d. h. der Punkt P 1 liegt innerhalb der Ellipse. 
Wir unterscheiden nun zwei Fälle. 
0 , 
I. P sei innerhalb der Ellipse gegeben (Fig. 2). 
Die Polare von P für die gegebene Ellipse schneide die Hyperbel 
= 0 in den Punkten 2 und 3, und zwar gehöre 2 dem Ast durch P , 
3 dem anderen Ast an. Dann sind P, 2 und 3 die Anfangslagen der 
Punkte P x , P 2 , P 3 , d. h. für den Fall h = 0. Wächst nun h bis in das 
Unendliche, so durchläuft P 1 den Bogen von P bis 0, während sich P 2 
und P 3 im entgegengesetzten Sinn auf ihren Ästen in das Unendliche 
bewegen. 
II. H sei aufserhalb der Ellipse gegeben (Fig. 3). 
Die Polare von H schneide die Hyperbel im Punkt 1* innerhalb der 
Ellipse und im Punkt 3 aufserhalb. Dann sind 1, P, 3 die Anfangslagen 
der Punkte P v P 2 , P 3 . Wächst nun wieder h bis in das Unendliche, so 
durchläuft P, den Bogen 1,0; P 2 und P 3 bewegen sich im entgegen- 
gesetzten Sinn von P, bezw. 3 aus*auf ihren Ästen in das Unendliche. 
Der besondere Fall q = 0, d. h. es liege P auf der Haupt- 
achse der Ellipse. Alsdann zerfällt |q = 0 in seine Asymptoten: 
y — 0 und x —pa 2 : e 2 . Dieser Wert von x mufs eine Wurzel der Gleichung (3) 
sein. In der Tat verwandelt sich diese für q — 0 in: 
(x —p °^j • [x 2 — ~ (p 2 + a 2 -f- h 2 ) -f- = 0. 
Die hieraus fliefsende quadratische Gleichung läfst sich auch in 
folgender Form schreiben: 
