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Kegelschnitte. Von deren vier Schnittpunkten entspricht der eine dem 
Schnittpunkte der beiden Geraden, die übrigen drei sind die Ecken des 
gesuchten gemeinsamen Polardreieckes. 
Wir wollen nun dies synthetische Ergebnis auf unsere analytische 
Lösung übertragen. 
Wir wählen die Gleichungen der beiden Polaren (1). Darnach entspricht 
jedem Punkt x\ y ' ein Punkt x, y. Letzteren lassen wir die Gerade 
xu + yv = w durchlaufen. Dann erhalten wir für den Ort des Punktes x f , y' 
die Gleichung: 
x—p y — q px -\- qy — p 2 — q 2 — Ji 2 
xb 2 ya 2 a 2 b 2 —0 
U V w 
oder tQjiu — b 2 fQ 2 v -j- = 0. 
Hiernach entspricht der Hyperbel «gq die Gerade w = 0, d. h. die 
unendlich ferne Gerade, der Hyperbel «£) 2 die Gerade y = 0 (die Ellipsen- 
hauptachse) und der Hyperbel die Gerade x = 0 (die Ellipsenneben- 
achse). Welche Gerade entspricht nun dem Kreis? Dann ist nach (7) 
w = (— 4- : e 2 v — — — u = - es ist also die Gerade 
\p q) pb~ _ qa 2 
^ = Dies ist aber die Polare des Punktes x — 6 — ^ 
qa J pb 1 pqe * p 2 -\- q 2 
0 G~ 
y— g— — 2 (10), also entspricht dem Kreis die Ellipsenpolare des 
P “r Q. 
Punktes G. 
Geschichtliches. 
' Während man früher in der Geometrie nur den Kreiskegel behandelte, 
ist es das Verdienst von Desargues gewesen, zuerst auf den allgemeinen 
Kegel zweiten Grades hingewiesen zu haben. Hiermit lag zugleich die 
Aufgabe vor, diesen Kegel in einem Kreis zu schneiden, oder, was ziemlich 
auf dasselbe herauskommt, seine Achsen zu bestimmen. Man verkannte 
• nicht die Schwierigkeit dieses Problems, und somit gelangte dasselbe zu 
einer gewissen Berühmtheit. Es wurde zuerst von Descartes gelöst. Die 
ersten synthetischen Lösungen aber gab Chasles in seinem Apergu historique, 
allerdings ohne Beweis. * 
Die erste Lösung von Chasles ist folgende: Man lege durch die 
Hauptachse der Ellipse eine zur Ellipsenfläche senkrechte Ebene und 
konstruiere in dieser die Hyperbel, die die Ellipsenbrennpunkte zu Scheiteln 
und die Ellipsenscheitel zu Brennpunkten hat. Nun stimmt der Kegel, 
der diese Hyperbel zur Basis und die Spitze des gegebenen Kegels zur 
Spitze hat, in den Achsen mit dem letzteren überein. Zum Beweis sei 
folgendes bemerkt: Es ist Chasles’ Verdienst, die Fokal eigenschaften der 
Kegelschnitte auf die Flächen zweiten Grades übertragen zu haben. Hat 
man z. B. von einem Punkt an zwei konfokale Kegelschnitte die beiden 
Tangentenpaare gelegt, so haben die Winkel derselben die Halbierlinien 
gemeinsam. Dieser Satz überträgt sich, wie folgt, auf den Raum: Legt 
man von einem Punkt an zwei konfokale' Flächen zweiten Grades die 
Tangentialkegel, so stimmen diese beiden in den Achsen miteinander 
überein. Nun kann man die gegebene elliptische Kegelbasis und die von 
