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Geh. Hof. Prof. Dr. Ph. Weinmeister macht Mitteilungen über das 
auf dem Zusammenhang der Krümmungen zweier projektiv aufeinander 
bezogenen Kurven beruhende Heumansche Verfahren zur Kon- 
struktion der Krümmungsradien von Kegelschnitten. 
Regierungsrat Prof. Dr. P. Schreiber legt die von der Firma Karl 
Schleicher & Schüll in Düren hergestellten neuen Logarithmen- 
papiere vor. 
Prof. Dr. A. Witting teilt ein einfaches, von d’Ocagne herrührendes 
Verfahren zur Rektifikation des Kreisbogens mit. 
Vierte Sitzung am 9. Juni 1910. Vorsitzender: Prof. Dr. A. Witting. 
— Anwesend 10 Mitglieder. 
Prof. Dr. E. Naetsch spricht über eine Anwendung des Euler- 
schen Multiplikators in der Theorie der Minimalflächen. 
Damit die auf ein rechtwinkliges Raumkoordinatensystem bezogene Gleichung 
z = f(x , y) eine Minimalfiäche darstelle, ist notwendig und hinreichend, dafs die Funktion 
f{oß,y ) der partiellen Differentialgleichung II. Ordnung 
(1) (1 -f # 2 ) r — 2pqs + (1 = 0 
Genüge leistet, in welcher p, q , r, s, t die partiellen Ableitungen erster und zweiter 
Ordnung der Funktion f(x,y) bedeuten, also 
_df_ _d£ _d*f jgj d*f _d*f 
^ d x' ® dy ’ 1 d x*' 8 dx dy : d y 2 
ist. Diese Gleichung kann aber 
^ (yT+i^i 7 ^) + Jy (y r+FTp) = 0 
geschrieben werden und läfst dann erkennen, dafs der Ausdruck 
p .dy — q.dx 
yi +p 2 +p 2 
i 
ein vollständiges Differential wird, dafs also der Quotient ~r nr ' - 0 — , — ^ einen Eulerschen 
yi +p 2 + s 2 
Multiplikator (integrierenden Faktor) der gewöhnlichen Differentialgleichung I. Ordnung 
(2) p .dy — q.dx = 0 
bildet. Die vollständige Integration der letzteren erfordert also, wenn die Funktion 
f(x,y) der partiellen Differentialgleichung (1) Genüge leistet, blofs eine Quadratur. Nun 
kann aber die Differentialgleichung (2) geometrisch gedeutet werden; sie charakterisiert 
offenbar die Fallinien (Kurven stärksten Gefälles) der Fläche z = f(x,y), d. h. diejenigen 
Kurven, welche die Niveaulinien dieser Fläche (die Schnittkurven der letzteren mit den 
oo 1 Ebenen ^ = c.onst.) rechtwinklig durchsetzen. Hiernach ergibt sich der Satz, dafs 
die Fallinien einer Minimalfläche stets durch blofse Quadratur gefunden werden können. 
Dieser Satz mufs natürlich auch gelten, wenn die Begriffe der Niveaulinien und 
der Fallinien etwas allgemeiner gefafst werden, indem man die Schnittkurven einer ge- 
gebenen Fläche mit irgendeiner Schar paralleler Ebenen als Niveaulinien und deren 
orthogonale Tiajektorien als Fallinien bezeichnet. Wenn die Stellungswinkel jener Ebenen 
a, ß, y genannt werden und die betreffende Fläche durch drei Gleichungen von der Form 
(3) x = X (w, v), y = Y (u, v), z = Z (u, v ) 
dargestellt wird, in denen u und v zwei Parameter sind, so können die Niveaulinien durch 
die endliche Gleichung X (u, v) . cos a 4- Y (w, v) . cos ß + Z(u, v) . cos y = const , die Fall- 
linien aber durch die gewöhnliche Differentialgleichung I. Ordnung 
du 4- 
(' 
d_ü,_ d_Q\ 
d v ^ d u) ’ 
dv = 0 
charakterisiert werden, in welcher e, f , g die Gaufssclien Fundamentalgröfsen I. Ordnung 
sind, 12 aber zur Abkürzung für den Ausdruck X cos a + Y cos ß -f- Z cos y steht. In 
