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durch den wir beim Zeichnen die mathematische Ellipse ersetzen. Es 
handelt sich also um die Länge des Bogens der mathematischen Ellipse, 
der im Innern des Kreisstreifens liegt; aber diese Länge hängt auch von 
der Gröfse von s ab, und deshalb wollen wir, um in allen Fällen gleichmäfsig 
zu verfahren, s immer so wählen, dafs der Bogen möglichst lang wird. 
Wenn wir im folgenden von Kreis und Ellipse sprechen, so meinen wir 
immer den mathematischen Kreis und die mathematische Ellipse. Wir 
nehmen nun einen Punkt P unserer Ellipse und schneiden die Gerade KP 
mit dem Kreise k r \ die Strecke zwischen P und dem ihm nächsten der 
beiden Schnittpunkte bezeichnen wir als den kürzesten Abstand y des 
Punktes P vom Kreise k r und geben y das positive oder negative Vor- 
zeichen, je nachdem P aufserhalb oder innerhalb von k r liegt. Dann ist 
die Potenz von P in bezug auf kr gegeben durch 
y(y + 2r). 
Ferner seien a und b {a~>b) die Längen der grofsen und der kleinen 
Halbachse der Ellipse und # die exzentrische Anomalie des Punktes P. Dann 
hat P in bezug auf die Achsen der Ellipse die rechtwinkeligen Koordinaten 
a cos ^ und b sin 3', und wir finden für seine Potenz in bezug auf den Kreis 
k r auch den Wert (1 — cos 3) [(a 2 — b 2 ) (1 — cos 3) -j- 2 (b 2 — ar)]. 
Diese beiden Ausdrücke für die Potenz des Punktes P in bezug auf 
den Kreis kr führen zu der Gleichung 
(1) y (y -j- 2 r) = (1 — cos 3) [(a 2 — b 2 ) (1 — cos t f >) + 2 {p 2 — ar )], 
durch die der Zusammenhang zwischen 3 und y bestimmt ist. Wir müssen 
nun erstens die Grenzen aufsuchen, in die 3* gebannt ist, wenn der absolute 
Wert von y die gegebene Gröfse d nicht überschreiten soll, und zweitens 
den Wert von r ermitteln, für den diese Grenzen möglichst weite sind. 
§ 3. Umformung und geometrische Deutung der Gleichung (1). 
Im Scheitel A hat die gegebene Ellipse den Krümmungsradius 
b 2 
Wir setzen 
r ~ r o + Q 
und führen statt 3 eine neue unabhängige Veränderliche 
x = r 0 (1 — cos 3) 
ein, von der für uns nur die Werte zwischen 0 und 2 r 0 in Betracht kommen : 
0 <,x <.2 r 0 ; 
hiermit nimmt die Gleichung (1) die folgende Gestalt an: 
(2) [( a 2 — b 2 ) x 2 — - r 0 2 y 2 — 2 r 0 3 y] — 2 q [b 2 x + r 0 2 y] = 0. 
Die Gleichung (2) ist, wenn wir x und y als rechtwinkelige Koordinaten 
deuten, die Gleichung eines Kegelschnittes, der durch den Koordinaten- 
ursprung hindurchgeht; betrachten wir von ihm den Bogen, der vom 
Koordinatenursprung aus sich bis zur Geraden x — 2 r 0 erstreckt, so sind 
die Ordinaten seiner Punkte gerade gleich den kürzesten Ab- 
ständen der Punkte unserer Ellipse von dem Kreise kr. Infolge- 
dessen können wir das Verhalten der Ellipse gegen den Kreis 
k r an dem Verhalten des Kegelschnittes (2) gegen die sc-Achse 
studieren.^ 
