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Wir wollen aber nicht nur einen bestimmten Kreis k r ins Auge fassen, 
sondern alle, die die Ellipse im Scheitel A berühren und auf derselben 
Seite der zugehörigen Scheiteltangente liegen wie der Krümmungskreis; 
r kann also alle möglichen positiven Werte annehmen, und wir brauchen 
auch die negativen nicht auszuschliefsen, die uns die Kreise liefern, die 
auf der andern Seite der Scheiteltangente liegen. In unserer Gleichung (2) 
ist also q — r — r 0 ein Parameter, der alle Werte zwischen — oo und 
-f- oo annehmen kann ; zu jedem Werte von q gehört vermöge der Gleichung (2) 
ein Kegelschnitt c Q , und alle diese Kegelschnitte bilden einen Büschel, 
der in der erwähnten Beziehung als eine Abbildung des Büschels der 
Kreise ~k r dienen kann. Deshalb wollen wir den Kegelschnittbüschel (c f ) 
zuerst untersuchen. 
§4. Der Kegelschnittbüschel (c ? ). 
Die sämtlichen Kegelschnitte c Q gehen durch vier reelle Punkte, nämlich 
durch den Koordinatenursprung, durch den Punkt (# = 2r 0 , y = — 2a) 
und durch die beiden unendlich fernen Punkte des Geradenpaares, dessen 
Gleichung (a 2 — b 2 ) x 2 ■ — r 0 2 y 2 — 0 lautet. Sie sind deshalb Hyperbeln 
und zerfallen in zwei Gruppen derart, dafs je zwei Hyperbeln derselben 
Gruppe einander ähnlich sind und dafs von zwei Hyperbeln aus ver- 
schiedenen Gruppen jede der konjugierten der anderen ähnlich ist. Den 
Übergang zwischen beiden Gruppen bilden zwei Geradenpaare, die sich 
yi 
für q — + Va 2 ' — b 2 ergeben; wir bezeichnen als erste Gruppe 
a 
diejenige, für die 
a 2 — b 2 „ /-s a 2 — b 2 
- V« 2 - b 2 < Q < 
+ V « 2 — i 2 
a a 
ist und der immer die Hyperbel für q — 0 angehört. 
Die Mittelpunkte der Hyperbeln c Q haben die Koordinaten x 
y = — (ro -f- q) und erfüllen eine Gerade mit der Gleichung 
b 2 
a - 
b 2 ' 
(3) 
X 
— r, 
b 2 
m 
y 
i; 
0 a 2 
auf dieser Geraden finden wir auch die Doppelpunkte D 1 und D 2 der 
beiden zum Büschel gehörigen Geradenpaare, und auf der Strecke zwischen 
diesen liegen die Mittelpunkte der ersten Gruppe der Hyperbeln. 
Die Hyperbeln der ersten Gruppe haben ihre reellen Hauptachsen 
parallel zur y- Achse; ihre Scheitel erfüllen eine Ellipse mit der Gleichung 
2 7 2 
(4) (a* — b‘ 2 )x 2 + r 0 2 y 2 - f 2r„ 2 -^-p — xy+ 2r o s y = 0, 
die im Koordinatenursprung die x - Achse berührt. Die Hyperbeln der zweiten 
Gruppe haben ihre reellen Hauptachsen parallel zur rr-Achse; ihre Scheitel 
liegen auf einer Hyperbel mit der Gleichung 
(5) (a 2 — b 2 ) x 2 + r 0 2 y 2 + 2 b 2 x y + 2 r 0 b 2 x — 0, 
die im Koordinatenursprung die y -Achse berührt. Die beiden Kegelschnitte 
(4) und (5) gehen auch durch die oben erwähnten Punkte i) 3 , Z> 2 und 
aufserdem noch durch den Punkt (pc = 2 r 0 , y — — 2 a)\ sie haben einen 
