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gemeinsamen Mittelpunkt M mit den Koordinaten x~r 0l y — — a, der 
auf der Geraden (3) liegt, und der zu dieser Geraden konjugierte Durch- 
messer ist bei (4) zur y - Achse parallel und trägt eine Sehne von der Länge 2b, 
während er bei (5) zur x - Achse parallel ist. 
Jetzt können wir uns ein Bild von dem Büschel der Hyperbeln c Q 
machen; dieses entspricht, da ja stets a > b > r 0 ist, immer der Fig. 1; 
denn das Wesentliche in der Lage der wichtigen Kurven (3), (4), (5) gegen 
das Koordinatensystem bleibt erhalten, auch wenn sich der Wert des Ver- 
hältnisses — zwischen 0 und 1 ändert. 
a 
§ 5. Bestimmung des günstigsten Wertes von q. 
Von den Hyperbeln c Q brauchen wir für unsern Zweck nur die Bögen? 
die vom Koordinatenursprung ausgehen und sich bis zur Geraden x — 2 r 0 
erstrecken; wir müssen denjenigen unter ihnen herausfinden, der sich mög- 
lichst eng an die x -Achse anschliefst, der also auf eine möglichst grofse 
Strecke innerhalb eines die x - Achse enthaltenden Streifens 2 von der 
Breite d verläuft. Diesen Streifen 2 begrenzen wir durch die beiden 
Geraden y = ■ — s ö und y == (1 — s)d, wobei s so zu bestimmen ist, wie 
wir es in § 2 angegeben haben. ' 
Bei dieser Untersuchung handelt es sich, wie wir sofort erkennen, 
nur um Bögen der Hyperbeln der ersten Gruppe. Wir müssen also q vom 
Werte 
a 2 -b 2 
a~ 
b 2 
+ V 
w 
V a 2 — b 2 bis zum Werte 
a v a 
lassen; dabei haben wir drei Intervalle zu unterscheiden, je nachdem 
a 2 — b 2 I m t-o a 2 — b 2 
achsen 
a 
— V a 2 — b 2 <q < 0, 0 < q < 
b 2 
<Q< 
b 2 
+v< 
b 2 
ist. Im ersten Intervall liegt der Mittelpunkt von c Q auf der Geraden (3) 
links von der y - Achse (siehe Fig. 1) und folglich der in Frage kommende 
Bogen von ergänz oberhalb der x- Achse; infolgedessen müssen wir e = 0 
nehmen und den Streifen 2 durch die x -Achse und die Gerade ?/=d 
begrenzen. In diesem Streifen hat diejenige Hyperbel c Q den längsten 
Bogen, deren zwischen der ?/~Achse und der Geraden x — 2 r 0 liegender Schnitt- 
punkt Q mit der Geraden y = d die gröfste Abszisse hat. Da nun die 
Gerade y = 6 die Ellipse (4) nicht schneidet und somit von keiner Hyperbel 
c Q berührt wird, zeichnet der Büschel der Hyperbel c Q in sie eine elliptische 
Punktinvolution ein, deren Mittelpunkt auf der Hyperbel c^, d. h. auf der 
Geraden ax -f- r 0 y = 0 liegt; hieraus erkennen wir, dafs Q sich stetig 
in der Dichtung der wachsenden x bewegt, wenn wir q das erste Intervall 
durchlaufen lassen, und die gröfste Abszisse x 0 für q = 0 annimmt. Im 
ersten Intervall also erhalten wir für e — 0 die Hyperbel, die 
sich der a;-Achse auf die längste Strecke anschliefst, und die 
Länge dieser Strecke ist die Abszisse x 0 desjenigen Schnitt- 
punktes der Hyperbel mit der Geraden y=ö, der auf der posi- 
tiven Seite der z/-Achse liegt. Es ist 
