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punkt S m zwischen der Ellipse (4) und der Geraden y — — d hineinfällt. 
Die Abszisse von S m und zugleich die Abszisse des Mittelpunktes der 
Hyperbel c m unseres Büschels, deren Scheitel S m ist, finden wir gleich 
a 2 0 a V a — r 0 \ 2 a) 
worin der positive Wert der Quadratwurzel zu nehmen ist; infolgedessen 
ist der Wert von q : für den sich die Hyperbel c m ergibt, 
(a — r 0 )S_ , 
a T 
in Betracht, 
(7) 
Es kommt also für uns nur das Intervall 0<qSQ> 
und dieses dürfen wir stets als vollständig in dem zweiten unserer oben 
a 2 £2 
genannten Intervalle enthalten voraussetzen: Für q = rückt näm- 
a 
lieh der Mittelpunkt von Cg in den Punkt M , so dafs S Q die Ordinate 
— (a — b) erhält; wir dürfen aber stets a — fr>d annehmen, da sich 
sonst die Ellipse mit den Halbachsen a und b nicht merklich von einem 
Kreise unterscheiden würde. Also ist sicher q m < — . 
Wenn wir nun q das zweite Intervall von 0 bis q m < 
b 2 
durch- 
laufen lassen, so müssen wir den Wert von q aufsuchen, für den die 
Hyperbel Cg die Gerade y = (1 — in einem Punkte Q q mit möglichst 
grofser positiver Abszisse schneidet. Die Abszisse von Q q setzt sich nun 
aus zwei Teilen zusammen: Der eine Teil ist die Abszisse von Sg und wächst 
mit q. Der andere Teil ist die Hälfte der Sehne, die von der Hyperbel 
Cg aus der Geraden y = (1 — Sg)6 ausgeschnitten wird; diese Sehne liegt 
immer im Abstande d vom Scheitel Sg und wächst ebenfalls, während q 
das zweite Intervall durchläuft, weil dabei sich immer ähnlich bleibt, 
aber zugleich eine immer gröfsere reelle Halbachse (gleich der vertikalen 
Strecke zwischen der Geraden (3) und dem oberen Bogen der Ellipse (4) 
erhält. Infolgedessen nimmt in unserem Intervall die Abszisse von Q q mit 
wachsendem q zu, und wir erkennen hieraus, dafs q m der gesuchte Wert von q ist. 
Für q — q m wird der Streifen 2 begrenzt durch die Gerade y = — d 
und y — 0; mithin ist dann Qg der zweite Schnittpunkt Q m der Hyperbel 
c m mit der a:-Achse. Die Abszisse von Q m ist doppelt so grofs wie die 
von S m , also . 
= + 2 r 0 - \/-— (i - J-\ 
a u a V a — r 0 \ 2 a) 
( 8 ) 
x, 
Hiernach haben wir das folgende Ergebnis: Wenn wir für q den in 
Gleichung (7) gegebenen Wert q m wählen, so erhalten wir die 
Hyperbel, die sich — für ein bestimmtes d — der a>Achse auf die 
längste Strecke anschliefst; die Länge dieser Strecke können 
wir aus Gleichung (8) entnehmen. 
§ 6. Verwertung des Ergebnisses für die Ellipse. 
Gehen wir nunmehr wieder zu den Kreisen über, von denen die 
Ellipse in einem Scheitel der grofsen Achse berührt wird, so haben wir 
für q = 0 den Krümmungskreis. Wir sehen zunächst: 
