76 
Teil II: Die Scheitel der kleinen Achse. 
§ 7. Wiederholung der Überlegungen von § 2 bis § 5 für die 
Scheitel der kleinen Achse. 
Wenn wir dieselbe Untersuchung für die Scheitel der kleinen Achse 
der gegebenen Ellipse anstellen, müssen wir die Überlegungen des I. Teiles 
mit den notwendigen Abänderungen wiederholen. Wir erhalten dann statt 
der Gleichung (1) die Gleichung 
(9) y{y - h 2r) — (1 — sin d) [(b 2 — a 2 ) (1 — sin &) + 2 (a 2 — br)] 
und formen sie um in die — der Gleichung (2) entsprechende — Gleichung 
( 10 ) [(a 2 — V) x 1 + r' 0 y* -f 2 r' 0 y\ — 2 o' [a 2 x + r\ y\ — 0, 
indem wir den Krümmungsradius 
, _ a 2 
T °~~b 
der Ellipse in den Scheiteln ihrer kleinen Achse ein führen und 
r = r f o - q', 
x = r' 0 (1 — sin $j, (0<x<2 r' 0 ) 
setzen. Die Gleichung (10) wird uns wieder durch einen Büschel von 
Kegelschnitten (<y) veranschaulicht, wenn wir g f als Paramenter auffassen; 
aber diese Kegelschnitte sind jetzt ähnliche Ellipsen, deren Hauptachsen 
parallel den Koordinatenachsen sind, und zwar ist das V erhältnis der zur 
x - Achse parallelen Hauptachse gleich 
y a 2 — b 2 
Von den Grundpunkten 
des Büschels (<y) sind zwei endlich und reell (x = y = 0 und x = 2 r' 0 , 
y = — 2b) und zwei unendlich fern und imaginär (gegeben durch (a 2 — b 2 )x 2 
2 
-|- r' 0 y 2 = 0). Der Mittelpunkt einer Ellipse c Q ’ hat die Koordinaten 
x ~ a 2 — V 
und liegt stets auf der Geraden 
<"> T-V 
r 
y = — (r' 0 — ?') 
h^r = l. 
— r 
0 a 2 
b 2 
Die Scheitel der zur sc-Achse parallelen Hauptachsen der Ellipsen c Q > er- 
füllen die Gleichung 
(12) (a 2 — & 2 ) x 1 — r' 0 y 2 - f 2 r ' 0 xy — 2 r' 0 y = 0 
(aj 
und die Scheitel der anderen Hauptachsen die Gleichung 
(13) ( a 2 — b 2 ) x 2 — r' 0 y 2 — 2 a 2 xy — 2 r' 0 a 2 x = 0; 
diese beiden Gleichungen stellen zwei Hyperbeln dar, deren gemeinsamer 
Mittelpunkt M (x = r' 0 , y = — b) auf der Geraden (11) liegt, die in den 
Punkten (x = y = 0) und (x = 2r' 0 , y = — 2b) zur x-, bezw. «/-Achse 
parallele Tangenten haben und deren zur Geraden (11) konjugierte Durch- 
messer zur «/-Achse, bezw. zur rr-Achse parallel sind. 
Da das Wesentliche in der Lage des Büschels der Ellipsen cy gegen 
die Koordinatenachsen bei den verschiedenen Werten von - zwischen 0 
a ■ 
