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Sinne, denn er hat homogene Koordinaten eingeführt 
1 
gleich und 
u 
gleich 
Wir wollen aber andere Koordinaten wählen, nämlich r, 
Fi g. 1. 
die polaren Koordinaten des Fufspunktes des vom Anfangspunkt auf die 
Gerade gefällten Lotes. Dann ist ru = — cos # und rv — — - sin Diese 
beiden Formeln führen aus einem System in das andere. 
Ist eine Gleichung zwischen r und # gegeben, so stellt diese demnach 
zwei Kurven dar, je nachdem man die Koordinaten r, & als Linien- oder 
als Punktkoordinaten auffafst. Von diesen beiden ist immer die letztere 
die Fufspunktkurve der ersteren für den Koordinatenanfangspunkt als Pol. 
Es seien uns jetzt gegeben eine Gerade r & und ein Punkt x y . Dann 
ist r — x cos & — y sin = p der Abstand des Punktes x y von der 
Geraden r 
In den Anfangsgründen der analytischen Geometrie nimmt man x, y 
als Veränderliche; dann stellt diese Gleichung eine Gerade dar, die parallel 
der Geraden r & ist und vom Anfangspunkt die 
Entfernung r — p hat. 
Hier ist aber r & veränderlich, also ist: 
r — x cos # — y sin & = p die Gleichung eines 
Kreises mit dem Mittelpunkt x y und dem Ra- 
dius p. 
Ist jp = 0, so erhalten wir r — x cos# — 
y sin d' = 0, die Gleichung eines Punktes. 
Anwendungen. Satz: Bewegt sich eine Gerade so, dafs die Summe 
ihrer Abstände von n Punkten ungeändert bleibt, so hüllt sie einen Kreis 
ein. (NB. Dieser Satz hat schon vor hundert Jahren in Gergonnes Annalen 
gestanden.) 
Beweis: Die n Punkte seien x 1 y v x 2 y 2 , . . . . x n y n \ die Summe der Ab- 
stände von der sich bewegenden Geraden sei j), dann folgt 
r — cos # — y 1 sin & 
x x cos & 
x 2 cos 
_l_ r 
+ r — x n cos & 
y 2 sin ^ 
y n sin & 
=i>» 
oder 
#1 + X 2 + 
x* 
n 
cos & 
ÄM sraä= !. 
n n 
Das ist aber die Gleichung eines Kreises, der den Massenmittelpunkt 
V 
der Punkte x t y v x n y n zum Mittelpunkt hat und — zum Radius. 
Nun seien zwei Punkte F 1 und F 2 mit den Koordinaten x v y x resp. 
Xcp y 2 gegeben. Ihre Abstände von der Geraden r & sind dann r — x ± cos & 
— y t sin & bez. r — x 2 cos & — y 2 sin Bewegt sich nun die Gerade so, 
dafs die Abstände der Punkte F ± und F 2 von ihr ein konstantes Ver- 
hältnis haben, so folgt r (c ■ — 1) — (c x 2 — x^) cos & — (c y 2 — y^ sin & — 0, 
die Gleichung eines Punktes. Bewegt sich also eine Gerade so, dafs die 
Abstände zweier Punkte von ihr ein konstantes Verhältnis haben, so dreht 
sie sich um einen Punkt. 
Bedenkt man, dafs das Produkt der Lote, welche von den Brenn- 
punkten einer Ellipse bez. Hyperbel auf eine bewegliche Tangente dieser 
