116 
Dieselbe hat zu Koordinaten r f und # + 
n 
Fig. 3. 
r = f’{ 
^ — - 
Hat demnach die Mutterkurve die Glei- 
chung r = f( i^), so ist die Gleichung der 
Evolute 
-) 
%> 
Betrachtet man nun diese Kurve für sich 
und nicht im Zusammenhang mit der ersteren, 
so kann man die Achse um einen rechten Winkel 
drehen; dann ist r = f f (-#) die Gleichung der 
Evolute; also r = f^(xf) die Gleichung der wten Evolute, wenn die Achse 
um n rechte Winkel gedreht worden ist. 
Hiermit ist die gestellte Aufgabe gelöst. 
Anwendung auf den Krümmungsmittelpunkt K: 
Dieser ist der Berührungspunkt der Normalen mit der Evolute. Man 
erhält ihn also, indem man vom Anfangspunkt 0 auf die Normale das 
Lot OP' fällt und BP ' um r" verlängert, also sind die Koordinaten des 
Krümmungsmittelpunktes K : 
x = — r f sin & — r" cos #, 
y = r' cos & — r" sin 
Der Krümmungsradius selbst ist 
BK=q = v + t " 
Anwendungen. 
1. Die Logarithmische Spirale. 
In Punktkoordination lautet ihre Glei- 
chung r = a • ^ ( p. 
Wir untersuchen nun zunächst die Kurve, 
welche dieselbe Gleichung in Linienkoordi- 
naten besitzt. 
Für sie ist 
r' 
-= f 9V- 
Verbinde ich den Anfangspunkt 0 mit dem 
Berührungspunkte B der Tangente an die 
Kurve, so ist hiernach ^ BO P— cp = Kon- 
stante. Der Radiusvektor des Berührungspunktes B sei R. 
Dann ist 
r a -O-tgff a tg (p (&+_(p — (p^ 
Fig. 4. 
R = 
COS (f COS (f 
a tg<p(d_+j) 
COS (f 
Da nun <£ XOB = # -f- (f die Winkelkoordinate des Punktes B ist, so 
sehe ich nach einer Drehung der Achse um cp, dafs die Kurve in Punkt- 
koordinaten eine Gleichung von derselben Form hat. Diese Kurve hat 
also die merkwürdige Eigenschaft, dafs ihre Gleichungen in Punkt- und 
Linienkoordinaten dieselbe Form haben. 
Es folgt also: die Fufspunktkurve der logarithmischen Spirale ist eben- 
falls eine logarithmische Spirale, ebenso ihre Evolute, wie sich sofort durch 
Differenzieren ergibt. 
