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2) durch Benutzung der von mir angegebenen sog. Polyeder- 
Kaleid oskope 1 ), bei welchen die Einlage einer sphärischen 
Grenzfläche des Netzes in die durch drei benachbarte Symmetrie- 
Ebenen, deren Innenseiten spiegelnd sind, eingeschlossene Ecke 
genügt, um die ganze Einteilung der Kugelfläche anschaulich 
zu erhalten; 
3) durch Construction der stereographischen Pro- 
jection des sphärischen Netzes, bei welcher eine winkeltreue Ab- j 
bildung desselben entsteht und die Hauptkreise der Kugelfläche 
als Kreise, speciell als Gerade in die Ebene projiciert werden. 2 ) 
Analog können nun auch die regelmässigen Einteilungen 
(oder Ausfüllungen) des dreidimensionalen sphärischen Raumes 
(des sog. Helmhol tz’schen Raumes, der Hyper Sphäre) , 
welche durch die linearen Symmetrie-Räume der regulären, zu 
der Hypersphäre concentrischen Polytope des vierdimensionalen 
Raumes erzeugt werden, 3 ) durch Projection in den ebenen 
dreidimensionalen (Euklid’ sehen) Raum anschaulich darge- 
stellt werden. 
Die Darstellung der sechs regelmässigen vierdimensionalen 
Polytope (erster Art) durch ihre Projectionsmodelle ist zuerst von 
1) Vgl. E. Hess: „Ueber ein Problem der Katoptrik“ (Diese 
Sitzungsber. , Januar 1879, S. 7 — 20). „Ueber Polyeder - Kaleidoskope“ 
(Ebenda, Febr. 1882, S. 9 — 12). „Einleitung in die Lehre von der Kugel- 
teilung“ (Leipzig, B. G. Teubner 1883, S. 262 — 265). „Ueber die Zahl und 
Lage der Bilder eines Punkts bei drei eine Ecke bildenden Planspiegeln“ 
(Diese Sitzungsber., Januar 1888). „Ueber Polyederkaleidoskope und deren i 
Anwendung auf die Krystallographie“ (Neues Jahrb. f. Mineral. 1889, 
Bd. I, S. 54 — 65). „Katalog mathematischer u. s. w. Modelle der Deutschen 
Mathematiker- Vereinigung“, herausgegeben von W. Dy ck, München 1892, 
Nr. 137, S. 250, 251. 
2) Vgl. die Figuren in des Verfassers „Einleitung in die Lehre von 
der Kugelteilung“. 
3) Vgl. E. Hess: „Ueber die regulären Polytope höherer Art“ 
(Diese Sitzungsber., Mai 1885, S. 31 — 57, § 1). „Ueber regelmässige Ein- 
teilungen des dreidimensionalen sphärischen Raumes“ (Ebenda, December 
1895, S. 39—50). 
