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Symmetriehauptkugeln projicieren sich als Kugeln, deren Mittel- 
punkte auf den geraden Symmetrie-Axen, den Schnittlinien der 
durch den Mittelpunkt $ gehenden Ebenen liegen, falls — was 
bei den hier in Betracht kommenden vier Fällen immer möglich 
ist — als Punkt P ein solcher Eckpunkt des Elementartetra- 
eders gewählt wird, für welchen die drei durch ihn hindurch- 
gehenden Kanten alle vorhandenen Arten von Symmetrie-Axen 
repräsentieren oder in welchem sich die grösste Zahl von 
Symmetrie-Hauptkugeln des sphärischen Gewebes schneidet. 
Die auf diesen Kugeln, speciell den durch ^ß gehenden 
Ebenen entstehenden Einteilungen, welche durch die kreis- 
förmigen , speciell geraden Symmetrie-Axen erzeugt werden, 
entsprechen den bekannten Einteilungen einer Kugelfläche, bezw. 
deren ebener stereographischer Projection, durch die Symmetrie- 
Ebenen der regulären Polyeder oder können aus diesen leicht 
durch Construction bestimmter kreisförmiger oder gerader Ver- 
bindungslinien vervollständigt werden. 
Wenn der soeben näher bezeichnete Eckpunkt P eines 
sphärischen Tetraeders zum Projectionspunkt gewählt wird, so 
sind die durch den Mittelpunkt ^ß der Projection hindurch- 
gehenden Ebenen 
1) für die Gruppe der regulären 5 -Zells die 6 Symmetrie- 
Ebenen eines regulären Tetraeders, 
2) für die beiden Gruppen desl die 3 + 6 Symmetrie -Ebenen 
1 0- u. 8-ZeIls u. des 24-Zells | ® lnes ^ uläre " Oktaeders 
) (oder Hexaeders), 
3) für die Gruppe des 600- und 120-Zells die 15 Symmetrie- 
Ebenen eines regulären Ikosaeders (oder Pentagon- 
dodekaeders). 
Die durch je drei benachbarte Symmetrie-Ebenen bestimmte 
Ecke ist also in diesen drei Fällen dieselbe, welche bei den 
Polyeder -Kaleidoskopen zur Darstellung der entsprechenden 
regelmässigen oder teilweise regelmässigen Gestalten der Tetra- 
eder-, Oktaeder- und Ikosaeder-Gruppe benutzt wird. 
