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Werden nun die in einer solchen Ecke enthaltenen Pro- 
jectionen der sphärischen Tetraeder einer der vier regelmässigen 
Einteilungen der Hypersphäre dargestellt, so giebt das ent- 
sprechende Polyeder-Kaleidoskop für eine solche Einlage 
i ein vollständiges anschauliches Bild der betreffenden 
Einteilung des dreidimensionalen sphärischen Raumes. 1 ) Die 
Zahl und Beschaffenheit der in einer solchen Ecke enthaltenen 
Elementar - Tetraeder , sowie ihre Anordnung ist aus den nach- 
folgenden Zusammenstellungen ersichtlich. 
Es sei noch bemerkt, dass nur für die erste Gruppe des 
5 - Zells die um den Punkt ^3 mit dem Radius 1 beschriebene 
Kugel ^ (die Projection der Polar-Hauptkugel des Punktes P) 
nicht zu den Symmetrie -Kugeln gehört. Für die drei anderen 
Hauptgruppen ist dies der Fall, und von den in der Ecke ent- 
haltenen Tetraedern verhält sich die eine, im Innern der Kugel 
liegende Hälfte zu der anderen, ausserhalb desselben liegenden 
symmetrisch in Beziehung auf diese Kugel. Die Symmetrie in 
Beziehung auf irgend eine Kugel, welche die Projection einer 
Symmetrie-Hauptkugel darstellt, ist überhaupt eine solche, dass 
ein Punkt und sein Spiegelbild in Beziehung auf diese Kugel 
harmonische Pole auf dem zugehörigen Kugeldurchmesser 
(sog. elektrische Bilder nach Thomson) sind. 
Hinsichtlich der Herleitung der im Folgenden zusammen- 
gestellten Beziehungen und weiter sich hieraus ergebender Folge- 
rungen sei auf eine in Kürze erscheinende grössere Abhandlung 
des Verfassers hingewiesen, in welcher insbesondere die sämt- 
lichen für die vier Hauptgruppen charakteristischen einfachen 
und Doppeldrehungen , ebenso die einfachen und dreifachen 
Spiegelungen (Drehspiegelungen), sowie auch die eigentlichen 
und uneigentlichen Correlationen vollständig abgeleitet werden. 
1) Die sphärischen Seitenflächen solcher Tetraeder werden hierbei 
der Uebersichtlichkeit wegen am besten offen gelassen, d. h. nur durch 
die in den Symmetrie-Ebenen gezeichneten sphärischen Seiten dargestellt 
und die den verschiedenen Tetraedern angehörigen ebenen Flächen durch 
verschiedene Färbung gekennzeichnet. 
