I. Gruppe des regulären Fünfzells. 
Das hierhergehörige reguläre sphärische Zellgewebe (1) wird 
durch 10 Hauptkugeln 10 gebildet, welche sich 
10 mal zu je dreien in den 10 Hauptkreisen 
15 mal „ „ zweien „ „ 15 „ L x - 15 
schneiden, während durch die Schnittpunkte nämlich 
die 5 Punkte % und deren Gegenpunkte %' je 6 Hauptkugeln q, 
„ 10 ,, 9t „ „ „ 9t ,, 4 „ ,, 
hindurchgehen. 
Durch diese 10 Hauptkugeln q wird die Hypersphäre in 
120 gleiche Elementartetraeder mit je zwei Eckpunkten X a und 
%'b und je zwei Eckpunkten 9t c und 9t'd geteilt. Die Elemente 
eines solchen Tetraeders £ (,) sind in übersichtlicher Zusammen- 
stellung die folgenden: 
{ 
Neigungswinkel der 
Centri winkel einer 
Haupt- 
Hauptkugeln in 
sphärischen Kante: 
kreis : 
dieser Kante: 
Xa 9tc = X'b 9t'd = ; . 
. K . 
... 60° 4 
Xa 9t'd = X'b 9tc = € . 
. L . 
CO 
o 
O 
Xa/X'b = 180° — 2 C . 
. K . 
... 60° [ 
9tc 9t d === & .... 
. L . 
... 90° J 
Neigungswinkel der Hauptkreise 
9tc Xa X'b = 9t d X'b Xa = 1 80° 
XbXa9t'd = XaXb m c = ri 
9t'd Xa 9t c = 9tc £ 9t'd = rj 
Dabei ist: 
1 1 
cos 2 rj — — -tt, cos 2 £ = — ~r, cos 2 e — — 
2 rj I Z'blkc 9t 'd = Xa9t'd 9t c = 60° 
I 9td"9tc X a = 9t c 9td X'b = 90° 
I Xa 9tc X ' b = X'b 9t'd Xa L 90°. 
( 1 ) 
3 ^ 4 
= 54° 44' 8", 2, £=52° 14'19",6, e: 
65 
2 2^ 
= -T» cos^ = y, 
°54'18",6, tf = 48°ll'22",8, I 
•u • , , , 2 3 — \/5 
(2) 
2£-j-^=180°, £ = 45 °+Va #=90°— 2tf>, wobei tg ^ = tg 2 (/j: 
(vgl. unter IV Formel (6) ). 
Wenn je 24 in einem Punkte % (oder X') zusammenstossende 
Tetraeder zusammengefasst werden, so entsteht das Gewebe des 
regulären Fünfzells (oder das conjugierte Gewebe) und zwar 
sind die 
