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d o d e k a e d e r s) dar. Eine weitere 1 6te Hauptkugel ß projiciert 
sich als die um den Mittelpunkt 53 mit dem Radius 1 be- 
schriebene Kugel von den übrigen 44 Hauptkugeln ß stellen 
sich 2.12 = 24 als Kugeln dar, deren Mittelpunkte zu je vieren, 
symmetrisch zu dem Mittelpunkte 23 auf den sechs fünfzähligen 
Axen (Projectionen von sechs Hauptkreisen 6r) liegen, die anderen 
20 als Kugeln, deren Mittelpunkte mit den 20 Pentagondodekaeder- 
Eckpunkten der Kugel $ zusammenfallen. Die hierdurch er- 
haltenen Einteilungen der 45 Kugeln und der 15 Ebenen (auf 
den letzteren entsteht die stereographische Projection der ersteren) 
sind bereits oben besprochen worden: eine Kugel bez. Ebene 
enthält 4.120 = 480 Teildreiecke, 
Jede der 120 dreiflächigen Ecken mit dem gemeinsamen 
Scheitel 23 (ein Polyeder -Kaleidoskop mit den Neigungswinkeln 
90°, 60°, 36° an den Kanten B , C , G der spiegelnden Innen- 
flächen) enthält 120 projicierte Elementartetraeder , von denen 
die 60 im Inneren der Kugel ^ liegenden sich symmetrisch in 
Beziehung auf diese Kugel zu den 60 übrigen ausserhalb der- 
selben liegenden Tetraedern verhalten. Die dreiflächige Ecke, 
welche als Einlage in das Polyeder-Kaleidoskop dient, wird mit 
den Einteilungen ihrer Innenseiten in die Teildreiecke mit gerad- 
linigen und kreisförmigen Seiten einfach erhalten, wenn man 
von der stereographischen Projection der Kugel ^ in die Ebene 
(vgl. die Fig. 29 in des Verf. Einleitung in die Lehre von der 
Kugelteilung) einen Quadranten (für den Mittelpunkt 23 ) so als 
Netz benutzt, dass die den Quadranten einschliessenden Geraden 
B und die beiden in demselben von 23 ausgehenden Geraden 
6r, C als Kanten gewählt werden. Auch hier empfiehlt es sich 
(wie bei III), bei der Einlage auch die Teilungen der kugel- 
förmigen Grenzflächen, welche in das Innere der dreiflächigen 
Ecke fallen , durch Einfügen der teilenden Kreisbogen sichtbar 
zu machen. Das innerste Teiltetraeder mit drei ebenen und 
einer kugelförmigen Grenzfläche giebt im Polyeder-Kaleidoskop 
das Bild des sphärischen Pentagondodekaeders, welches die 
Grenzfläche des sphärischen 120-Zells darstellt. 
