Je me propose de faire voir qu’il a une portée beaucoup plus 
étendue, et qu’il ouvre une voie nouvelle, même après les belles 
découvertes de Clebsch, dans la recherche difficile des intégrales 
de différentielles algébriques, qui peuvent se réduire aux fonc- 
tions elliptiques. 11 offre, en effet, le premier exemple, et le seul 
connu jusqu’ici, de la réduction d’un type d’intégrales qui con- 
tient essentiellement deux fonctions de première espèce, obtenue 
en introduisant deux intégrales elliptiques de modules différents. 
J’ai rencontré récemment dans une recherche, où je ne présu- 
mais point devoir le trouver, un second exemple qui a appelé 
mon attention sur les formules de Jacobi, et que je vais indiquer 
succinctement. 
Soit : 
R ( z ) — (z 2 — a) (8z 3 — Gaz — b) 
on aura en premier lieu : 
/ * clz \ /' dx 
l/R (z) ’&'J \/ (2 ax — 6) (x 2 — a) 
en prenant : 
x = 
4z 3 — ■ 3az 
? 
a 
et si l’on pose ensuite : 
2z 5 — b 
^ 5(z 2 — a) 
on obtiendra la relation : 
A 
zdz 
l/R (z) 
f dy 
ô \ / y* I, 
On est ainsi par induction conduit à croire qu’il existe pour les 
irrationnelles algébriques, dont le nombre caractéristique ordi- 
nairement désigné par p, est supérieur à l’unité, des cas de réduc- 
tion de leurs intégrales aux fonctions elliptiques, dans lesquels 
