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I. Appelons f (ni, p) la somme des produits p à p des ni pre- 
miers nombres naturels. 
Un procédé identique à celui que l’on emploie pour déter- 
miner le nombre des arrangements de m lettres, montre que ces 
sommes satisfont à l’équation aux différences : 
f\m,p) — f'{m — 4, p) -+- mf[m — 4, p — 4) . . (1 ) 
f ( m , p) s’annule évidemment pour m = 0. Donc f ( m , p) est 
divisible par m. 
De l’équation (1) on tire : 
f'(m — 4,p — 1) == 0 (mod. m); 
ou, ce qui est la même chose, 
f\m, p) = 0 (mod. m -4-4). 
L’équation (1) nous permet également d’écrire : 
f [m , p) == 0 (mod. ni — 1 ) , 
f(m,p) = 0 (mod. m — 2), 
f(m , p) == 0 (mod. m — p -+• 4). 
On peut donc écrire : 
f(m , p) = (m + 1 ) m {ni — 4 ) (m — 2) ... (m — p -+- 4 ) ? (m , p ) , (2) 
<p(?n,p) désignant une nouvelle fonction de m et de p. 
Ces nouvelles fonctions satisfont à l’équation aux différences 
(m - 4 - 4) <f {m , p) = (m — p) y (m — 4 , p) m f (m — 4 , p — 4 ). (3) 
II. Si nous considérons le produit 
[x - 4 - 4 ) (x -4- 2) ... (x -e m) =*" + /'(m , 4 ) x’"-* 
f{m, 2) x m - 2 -r- ••• -+- 
