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5. 
la théorie des fonctions symétriques des racines nous fournit 
immédiatement la relation 
p/'(m, p) = ± [S, — S I ) + S ,_*/■(»!, 2) •• • ± S, f[m , p — 1)] , 
où S p désigne la somme des puissances p mes des m premiers 
nombres naturels. 
Chacune des sommes S p s’annule pour m = 0 ; il en est de 
même de f(m,q). Donc S, f (m, p — q ) est divisible par nfi. Le 
premier terme S p contient seul m à la première puissance. 
D’après la définition de Lacroix, le coefficient de m est le 
(p — l) ,ne nombre de Bernoulli. 
Donc , 
f (0, p) — ± (4) 
V 
Celte relation jointe à (2) montre que 
?(0 ,p) 
± 
i .2.3...p 
Nous voyons immédiatement, au moyen de l’équation (3), 
que l’on peut, pour une valeur quelconque de m, représenter 
y(m,p ) par une fonction linéaire des nombres de Bernoulli. 
Les fonctions (ni, p) se rattachent d’une façon évidente à 
ces nombres et toutes les relations qui existent entre ces fonc- 
tions en donnent d’analogues entre les nombres de Bernoulli. 
III. f (ni, 1) = m ■ Donc cp (m , 'I) = i; la relation (3) 
nous conduit à poser (j> (m, 0) = ^ t • 
Nous trouvons ensuite les valeurs : 
? (»* , 2 ) : 
y(m, 3) 
am 
24 
m . m -+- I 
?[m, 4) = 
48 
\ 5 m 3 -t- 1 3 m 2 — \ 0 m — 8 
?(*»»&) = 
2 3 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 
(m \ )m (3m 2 — m — 6) 
2M.2.3.4.5.6 
