4. 
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On voit que <p (m, 5) et cp (m, 5) sont divisibles par m et m-\- 1 . 
Cette propriété est générale pour cp (m, 2p -+- 1). 
En effet, cp (0, 2p -4- 1) = — i.a.o^ap-n ~ P u ' sc I ue * es 
nombres de Bernoulli à indices pairs sont nuis. 
Dans l’équation (3), posons m = 0 ; et p = 2p' -t- 1 . 
Nous trouvons 
? (0, 2p- + 1 ) = — (*2 p' 4- 1) r (— 1 , 2p' -t- 1 ) = 0. 
Donc en général <p (m, 2p h- 1) est divisible par m -+- 1. 
IV. Considérons le produit 
P = (x + 1) [x -4-2) ... ( x -v- m) =x' n -+- f(m , 1) x m_1 -+-••-+- /‘(m, »«). 
En faisant x + 1 =z, on trouve : 
P = z m -+- f(m — 1,1) z m ~' -+- ••• -+- f[m — 1, m — I). 
En remplaçant z par x -t- 1 et développant les puissances de 
x -4- 1, puis identifiant les coefficients de xP dans les deux déve- 
loppements de P en ayant égard à l’équation (2) on est conduit 
à la relation 
Vf (»» » P) = Cm-p+2, m - P f[m , p — 4) -+- ••• 
C m — q -+- I) -4- h C m+ ., TO _ P 
En y remplaçant les f (m, p ) par les fonctions cp (m, p), cette 
équation devient : 
1,-1 m — q -+■ \ 
P? (m,p) = 2 
o 1.2.5 ...p — q -+- 1 
>(»*,</)• . . (G) 
V. Tout le monde connaît l’expression en série de 
C’est au moyen de ce développement que Cauchy a trouvé les 
relations employées ordinairement pour le calcul des nombres 
de Bernoulli. 
M. Laurent a donné une formule beaucoup plus générale pour 
