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D. 
et de remarquer qu’en différentiant le premier membre de (1) 
plusieurs fois de suite, on retrouve des équations de la même 
forme. 
C’est le procédé que nous avons employé dans le cas particu- 
lier où m = 2 (*). 
Malgré sa forme particulière, l’équation (1) renferme un grand 
nombre d’équations différentielles remarquables : nous allons le 
montrer dans le cas de m = 2. 
Dans un important mémoire inséré aux Philosophical Transac- 
tions , M. Hargreave (**) étudie les équations différentielles 
linéaires et recherche les cas d’intégrabilité au moyen des for- 
mules symboliques de différentiation et d’intégration. 
Les équations linéaires du second ordre sont traitées spéciale- 
ment dans ce mémoire. 
M. Moutard a récemment montré (***) que l’équation de 
M. Hargreave se ramène aisément à la célèbre équation du 
second ordre : 
\ (Pij n( n -+-•]) ^ 
y dx 2 x 2 
Celte équation, comme l’on sait, se rencontre dans la théorie 
de la chaleur. 
Duhamel la transforme en celle-ci : 
2 » -+- 5 
xy" a — ÿ + y = 0 (****). 
Cette équation n’est autre que l’équation (1) où l’on change 
x en — x. 
(*) Bull, de l’Acad. roy. de Bely., t. XLI,p. 1017. 
(**) On tlie solutions of linear dijjerential Equations, by Ch.-J. Hargreave, 1848, p. 31. 
(***) Comptes rendus, Note sur les équations différentielles linéaires du second 
ordre, t. LXXX, p. 729. 
(****) Journ. de l'École pol., 22 mc cahier, p. 40. Nous avons déjà fait remarquer ces 
analogies à propos d'une note de M. Glaisher. ( Nouv . Corr. Math, de M. Catalan, t.Il, 
p. 279.) 
