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U — 
Le théorème que nous avons énoncé en tête de cette note 
montre que pour m = 2, l’équation (1) est intégrable lorsque 
«i=5 et o; = j ±p. 
Nous avons démontré d’ailleurs que ce sont les seuls cas d’in- 
tégrabilité. 
Il serait intéressant de savoir s’il existe une propriété analogue 
pour d’autres valeurs de m. 
II. La forme remarquable de l’intégrale générale de l’équa- 
tion (I), dans le cas où les paramètres a l} a 2 , ... a m _ s sont déter- 
minés par le système (A), nous conduit à un changement de 
variable qui réduit l’équation (1) à une forme excessivement 
simple. 
l_ 
Si nous posons mx m = t, nous voyons immédiatement que 
cette intégrale générale prend la forme : 
fr=m 
y= 2 P**- 
k = l 
Cette intégrale est celle de l’équation 
Par ce changement de variable, c’est donc à cette forme que 
nous ramènerons l’équation (i). 
Cette transformation, pour le cas de m = 2, a été employée 
par M. H. Brocard (*). 
III. Outre les cas d’intégrabilité dont nous venons de parler, 
l’équation (1) peut souvent être ramenée à un degré inférieur. 
Supposons que m = 3. 
Si nous traitons l’équation 
æY" •+• a^y" -t- a t ij' — y = 0 , . . . . (2) 
(*) Nouv. Corr. Math, de M. Catalan, X. II, p. 283. 
