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5. 
par la méthode de Brisson, nous sommes conduits à la trans- 
formée 
xV' -+- v' (or,x -+- 5vx 2 ) -+- xV -+- «jxe 2 -4- a»v —1=0. (3) (*) 
Le premier membre de cette équation peut s’écrire : 
X S (ü" -4- 2ui/) -4- a,x ( V ' -H V 2 ) -I- v(v' -4- V 2 ) X 2 -4- «2 V — I = 0. 
Supposons, pour un instant, que la somme des deux premiers 
termes soit nulle (**). 
Nous aurons l’équation auxiliaire 
v" -+- 2vt/ a. 
—7 — = (4) 
v -4- y x 
Elle donne comme intégrale première 
C 
(5) 
Nous sommes ramenés à l’équation de Riccati. 
Toutes les fois que celte équation sera intégrable sous forme 
finie, explicite, nous aurons pour v une fonction de x et de C. 
Considérant C comme une variable, l’équation (5) sera ramenée 
à une équation de premier ordre. 
La même méthode appliquée à l’équation (I), lorsque m = 4, 
nous conduit à une transformée qui peut s’écrire : 
x u 
OUU 
3 u n 
nu”x: 
4- OU U ) -4- CfjX [U 
3 , „ „ „, 2 \ 
« 2 x (a' ■ 
— 3 uu' -4- u l ) 
a 7 ;u — 1=0 
(0) 
Si nous supposons, comme nous venons de le faire, que la 
somme des deux premiers termes s’annule, nous trouvons : 
ouu 
3 h' 4 
U — O UU -4- U 
(7) 
(*) I*. Mansion, Bull, de l’Acad.roy. de Belgique, t. XXXVIII. 
(**) M. Catalan a employé ce moyen pour réduire, plus simplement que nous ne l’avions 
fait, l’équation xy" - ky' — y = 0, à l’équation de Riccati (Bull, de l’Acad. roy. de 
Belg., t. XLI , p. 937). 
