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Le théorème que nous avons énoncé permet de trouver la somme 
de cette série chaque fois que l’équation (1) est intégrable. 
On pourrrait sans peine former les séries qui correspondent 
aux valeurs 4, 5, etc., de m. 
Legendre a montré également que les valeurs de la série sont 
liées par l’équation aux différences 
?(*) — ?(* *) V î) 
Dans le cas qui nous occupe, l’équation correspondante sera 
f {b, a,c) = y (b -+- a, a •+• 2 c, c) •»- 
a . ex 
b. [b ■+■ a] 
tj>(b -h 2a -r- 2c, a -+- 4c, c) 
c . ex 
— — f {b -t- 3a + 6c, a ■+■ 6c, c) . 
o . (6 -+= a) (6 -+- 2 a -+■ 2c) 
On peut donc trouver l’intégrale de cette équation aux diffé- 
rences finies, dans tous les cas où l’équation (1) est intégrable. 
VI. Tout ce que nous venons de dire de l’équation (!) s’appli- 
querait sans peine à cette même équation où l’on changerait le 
signe du dernier terme. 
Les exponentielles seraient remplacées par des lignes trigono- 
métriques. 
