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négative; donc la portion polaire est toujours concave vers l’axe 
des abscisses. 
Mais si dans ^ on donne à <p des valeurs suffisamment voi- 
sines de tt , cette quantité sera positive. Donc dans le voisinage 
de la portion polaire, la portion équatoriale est toujours convexe 
vers l’axe des abscisses. Or nous avons vu [4] qu’au point de 
jonction les deux portions ont la même tangente; donc ce point 
de jonction est toujours un point d’inflexion. 
Quant aux inflexions de la portion équatoriale, remarquons 
d’abord que le premier facteur de ^ ne change jamais de signe. 
En effet, il ne s’annule que pour d = 0 , et alors se présente, 
pour toute valeur de ~k, sous la forme 0 X 00 ; c’est un cas limite 
qui sera examiné plus loin, ce n’est pas un changement de signe 
correspondant à une variation continue de la latitude. Ce même 
facteur peut aussi devenir infini, mais seulement pour les deux 
extrémités de la portion équatoriale, où l’on a<p = 0ou9=7r; 
ici encore il n’y a pas de changement de signe. Entre ces deux 
limites, ce premier facteur est constamment positif. 
La condition d’inflexion se réduit donc au changement de signe 
du second facteur 
4 — 2 sin 2 2x tang y (tang y — y). 
Éliminons 1 de ce facteur par l’équation coscp-f-tang>tang&=0, 
qui donne 
4 cos 4 y tang 4 tJ 
sin 2 2> 
(tang 2 â -+- cos 2 y) 2 
il devient 
(tang 2 (? -+- cos 2 y) 2 — tang 2 <? sin y (sin y — y cos y) 
(tang 2 S -+- cos 2 y) 2 
Le dénominateur ne devient nul que dans le cas limite à = 0, 
qui sera traité plus loin. On peut donc dire que cette expression 
ne change de signe qu’avec son numérateur; et celui-ci ne peut 
changer de signe qu’en passant par zéro. 
