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16 . Pour savoir dans quelles conditions cela se produit pour 
chaque valeur de d, étudions une nouvelle courbe auxiliaire 
ayant pour équation 
(; y -4- cos 2 ?) 2 = y sin ? (sin ? — ? cos ?) , 
les axes étant rectangulaires, et 9 se comptant sur l’axe des ab- 
scisses de 9 = 0 à 9 = x. 
1° Cette courbe est tout entière comprise entre les deux ordon- 
nées menées par 9 ' = 69°59'54",40 et par 9 " = 130°43'19",62. 
Toute ordonnée intermédiaire la rencontre en deux points et en 
deux points seulement. 
En effet, l’équation peut s’écrire 
if — 2 y [£ sin ? (sin ? — ? cos ?) — cos 2 ?] -f- cos 4 ? = 0, 
et l’on trouve en la résolvant par rapport à y 
y = l sin ? (sin ? — ? cos ?) — cos 2 ? 
± l/sin ? (sin ? — ? cos ?) [f sin ? (sin ? — ? cos ?) — cos 2 ?]. 
Entre les limites 9 = 0 et 9=x, le facteur sin 9 (sin9 — 9 COS 9 ) 
qui est égal à cos 2 9 tang 9 (lang 9 — 9 ) est toujours positif. La 
condition nécessaire et suffisante pour que les valeurs de y soient 
réelles est donc 
| sin ? (sin ? — ? cos ?) — cos 2 ? > 0, 
c’est-à-dire 
tang ? (tang ? - ?) > 4. 
Or il y a évidemment une valeur unique entre 0 etf » et une 
autre seulement entre \ et tt pour lesquelles tang 9 (tang 9 — 9)=4 ; 
et pour que le premier membre soit supérieur à 4, il faut et il 
suffit que 9 soit compris entre ces deux limites. On calcule aisé- 
ment ces deux valeurs, au moyen des différences logarithmiques 
et l’on trouve 9' = 69°39'54",40 , et 9 " = 130°43'19",62. 
Remarquons cependant qu’en dehors de ces limites il y a deux 
points isolés dont les coordonnées vérifient l’équation de la 
