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57. 
u et v 2 étant toujours positifs, il faut donc d’abord v — 4 > 0; 
d’où l’on peut conclure que <p doit être dans le second quadrant. 
Cette conclusion est évidente si l’on suppose que 9 reste dans 
les limites 9', 9"; car si 9 était compris entre 69° et 90°, cot 2 9 et 
par suite v et v — 4 seraient négatifs. Mais il est bon de montrer 
que l’équation n’a aucune solution dans tout le premier quadrant. 
On trouve en différentiant 
d v 2 v (v — 8) dv dv sin 4 y — 4y 
df v — 4 ( v — 4 f df dy sin 2 2y 
d ~ est toujours négatif, donc v décroît toujours quand 9 aug- 
mente. Faisons varier 9 depuis zéro jusqu’à la valeur qui donne 
v = 4; passera d’abord par toutes les valeurs depuis l’infini 
jusqu’à -+- 16, puis recommencera à croître depuis -1- 16 jusqu’à 
l’infini; car sa dérivée, négative d’abord, devient positive quand 
v == 8. La valeur + 16 est donc le minimum du premier mem- 
bre. Or, comme nous l’avons vu plus haut, en dehors des limites 
9', 9", u < 4, ku < 16 ; donc il est impossible que dans cette 
partie du premier quadrant l’équation — Au soit vérifiée. 
Pour des valeurs de 9 supérieures à celle qui donne v = 4, les 
deux membres seraient de signes contraires. Donc il n’existe 
aucune solution dans tout le premier quadrant. 
Dans le second quadrant v < u; en effet, comme on a 
2 cot2j> 
on aura en posant r =^, 
y — y lang 2 y — tang y = r tang 2 y (tang y — y), 
y tang 2 y . (1 — r) + r tang 3 y == y — tang y. 
Or puisque v > 4 et u > 0, r est positif; à moins donc que 
l’on n’ait r < 1, c’est-à-dire v <t«, le premier membre de cette 
1 — tang 2 y 
tang y 
