5 
no son propiamente hablando mas que comprobaciones a pos - 
teriori : á la primera la falta exactitud; la segunda es compli- 
cada; y la tercera omite una parte importante en las aplicacio- 
nes, la relativa al cálculo del esceso esférico: así es que gene- 
ralmente la que se reproduce es la demostración de Lagrange; 
pero necesita cálculos bastante largos. Después de haber desar- 
rollado el enunciado del teorema, me propongo dar otras dos 
demostraciones de él, que no tengan los inconvenientes de las 
tres primeras y mas sencillas que la de Lagrange. 
Es evidente que á un triángulo esférico cualquiera corres- 
ponde siempre otro rectilíneo que téngalos mismos lados, y cu- 
ya resolución puede sustituirse á la del primero: la cuestión 
consiste en saber cómo deben modificarse los ángulos del trián- 
gulo esférico para obtener los del triángulo rectilíneo. Sean 
A, B y C los tres primeros, AL B r y C los otros tres, a, by c 
las longitudes de los lados que son comunes á los dos triángu- 
los, tomando por unidad el radio de la esfera; por último, 
x, y y s las diferencias A — A r , B—B', C—C\ diferencias que 
se trata de determinar, y de las cuales no se conoce todavía 
mas que la suma, la cual es igual al esceso esférico e. Supo- 
niendo formado el triángulo en la superficie de la tierra, las 
relaciones a, by c son muy pequeñas, y se puede dejar de tener 
en cuenta sus cuartas potencias en los valores de x, y y z, lo 
cual se reduce á alterar los ángulos en cantidades siempre infe- 
riores á 0 r ',02, y por consecuencia mucho menores que los 
errores de observación. Si se desprecian también los términos 
del cuarto orden (1), cada ángulo del triángulo rectilíneo será 
igual al ángulo correspondiente del triángulo esférico dismi- 
nuido en el tercio del esceso esférico: además, ambos triángu- 
los serán igualasen superficie. Así tendremos, llamando Já la 
superficie del triángulo rectilíneo, 
« T be sen. Á f a * sen. // sen. O 
X—y — — — — 
3 8 6 0 sen. A' 
(1) Dentro de poco se dará un método en donde se tengan en cuenta 
las cantidades de cuarto orden, y aun si se quiere de un orden cualquiera? 
por Mr. Grunert. 
