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corresponde siempre un par de secantes imaginarias; pero á 
una raiz real no siempre corresponde un par de secantes rea- 
les, puesto que para que efectivamente existan las secantes, es 
menester que la raiz real que les corresponde haga positiva 
cierta función de los parámetros de las ecuaciones propuestas. 
0. Cuando las dos curvas del segundo grado se encuentran 
en cuatro puntos, los tres pares de secantes comunes son ne- 
cesariamente reales. Y como la existencia de dos de estos pares 
lleva consigo forzosamente la del tercero, se sabrá que se veri- 
fica esta circunstancia de cuatro encuentros si las tres raices 
de la ecuación auxiliar son reales, y si al mismo tiempo dos de 
ellas hacen positiva la función de que acabamos de hablar. 
6. Cuando las curvas no se encuentran en cuatro puntos, 
lo verifican en dos ó en ninguno. Pero en los dos últimos ca- 
sos se sabe á priori qpe existe un par de secantes reales, y que 
las otras dos son imaginarias. 
7. En la circunstancia de un sólo par de secantes reales, 
;,cómo resolver la cuestión de saber si hav dos encuentros ó no 
los hay? No se ha indicado otro medio más que el de buscar 
las intersecciones de cada una de las secantes reales con una 
de las dos curvas propuestas. De modo que si efectivamente 
no hay encuentros, tendremos un calculo inútil. Aquí es donde 
creo que puede señalarse un vacío. 
8. En efecto, dos casos distintos ocasionan la existencia de 
un sólo par de secantes reales, á saber: 
1. ° Siendo reales las tres raices de la ecuación auxiliar, 
una sola hace positiva la función de que antes hemos hablado. 
2. ° La ecuación auxiliar no tiene más que una sola raiz 
real; pero puede demostrarse que en el primer caso no hay 
ningún encuentro, y que hay dos en el segundo. 
9. Para demostrar este teorema, observo en primer lugar 
que la naturaleza de los encuentros, y por consiguiente la na- 
turaleza y propiedades de las raices de la ecuación auxiliar, 
son independientes de la elección de las coordenadas; que ade- 
más uno de los sistemas de secantes comunes es siempre real; 
de modo que puede estudiarse la cuestión suponiendo las dos 
curvas referidas á dos secantes comunes, tomadas por ejes de 
coordenadas. 
