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10. Las dos ecuaciones de estas curvas no se diferencian 
entonces más que en un solo parámetro, y pueden discutirse 
en la forma siguiente: 
ay 2 -\-Rxy-\-c%--\-dij 0 
aif ~r B 4 xy -j- car -f dy -{- ex 0 . 
Su combinación es: 
a(l+>0^ 2 +í B + A B 1 )¿n/ 
y la ecuación auxiliar, quitando el factor 1-fx, que igualán- 
dole á cero dá la raiz real correspondiente al sistema de se- 
cantes tomadas por ejes de las coordenadas, queda reducida al 
segundo grado del modo siguiente: 
(ae^-^-cd 2 — íacf) (l-f A ) 2 
-de (B+AB i )(l+A+/(B+AE i ) 2 =rO. 
Por lo demás, confundiéndose la realidad de las dos raíces 
de esta ecuación con la de la relación 
1 -|— A 
B+aB/ 
lleva consigo una 
condición que se trasforma con facilidad en la siguiente : 
(e 2 — 4 cf)[d‘ 1 — 4 aj ) >0. 
Pero los factores binomios e~—ícf, y d^—íaf son respecti- 
vamente aquellos cuyo signo decide la realidad de los encuen- 
tros de cada uno de los ejes de las coordenadas con las curvas 
propuestas. Por lo tanto se ve que si los cuatro encuentros son 
imaginarios, las tres raíces de la ecuación auxiliar son reales, 
y que si sólo dos de estos encuentros son imaginarios, esta 
misma ecuación no tiene más que una sola raiz real. 
li. Concluiré con una sencilla reflexión. El método que 
acabo de estudiar, es seguramente interesante é instructivo; 
pero ¿puede servir de gran recurso en la práctica de las ecua- 
ciones numéricas? Creo que es permitido dudar de ello. En 
efecto, la ecuación auxiliar del tercer grado podrá no tener 
ninguna raiz comensurable, podrá suceder también que las dos 
secantes que corresponden á una raiz comensurable de la ecua- 
