BODY BY THE AID OE THE THEOKY OF SCBEWS. 
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perties of the cylindroid ; but it is worthy of remark that the distribution of pitch which 
is presented by physical considerations is exactly the same as the distribution of para- 
meter upon the generators of the surface, which was fully discussed by Plucker in con- 
nexion with his theory of the linear complex. 
On p. 130 ( loc . cit.) Plucker has arrived at the equation 7c ^ -f- Jc 2 if + 7c. ^ -j- 7cJc.Jc z = 0 . 
This hyperboloid is the locus of lines common to three linear complexes of the first 
degree. The axes of the three complexes are directed along the coordinate axes, and 
the parameters of the complexes are Tc„ ^ # 3 . On p. 132 we have the theorem that 
the parameter of any complex belonging to the “ dreigliedrigen Gruppe ” is proportional 
to the inverse square of the parallel diameter of the hyperboloid. 
Plucker had thus shown what is geometrically equivalent to some kinematical 
theorems proved in the ‘ Theory of Screws,’ p. 203. When a body has three degrees of 
freedom, it may be rotated about all the generators of one system on the hyperboloid, 
ciof+by' 1 -f cz 2 + abc= 0 ; 
the body may also be twisted about three screws of pitches a, b , c along the axes, and 
the pitch of every other screw about which it can be twisted must be proportional to 
the inverse square of the parallel diameter in the pitch hyperboloid. 
The conception on which the writer had founded the criterion of Keciprocal Screws 
(‘Theory of Screws,’ p. 166) had been previously employed by Dr. Klein (Math. Ann, 
Band iv. p. 413). “Es lasst sich nun in der That ein physikalischer Zusammenhang 
zwischen Kraftesystemen und unendlich kleinen Bewegungen angeben, w 7 elcher es 
erklart, wie so die beiden Dinge mathematisch coordinirt auftreten. Diese Beziehung 
ist nicht von der Art, dass sie jedem Kraftesystem eine einzelne unendlich kleine Bewe- 
gung zuordnet, sondern sie ist von anderer Art, sie ist eine dualistische. 
“ Es sei ein Kraftesystem mit den Coordinaten H, H, Z, A, M, N, und eine unendlich 
kleine Bewegung mit den Coordinaten S', H', Z ', A', M', N' gegeben, wobei man die 
Coordinaten in der im § 2 besprochenen Weise absolut bestimmt haben mag. Dann 
reprasentirt , wie hier nicht weiter nachgewiesen werden soil, der AusdrucJc 
A'S + M'N+ N'Z+ E'A + H'M + Z'N 
das quantum von Arbeit, welche das gegebene Kraftesystem bei Eintritt der gegebenen 
unendlich kleinen Bewegung leistet. Ist insbesondere 
A'S + M'H+N'Z+H'A + H'M+Z , N=0, 
so leistet das gegebene Kraftesystem bei Eintritt der gegebenen unendlich kleinen 
Bewegung keine Arbeit. Diese Gleichung nun reprasentirt uns, indem wir einmal H, 
H, Z, A, M, N, das andere Mai S', H', Z', A', M', N' als veranderlich betrachten, den 
Zusammenhang zwischen Kraftesystemen und unendlich kleinen Bewegungen.” 
Dr. Klein has also shown (Math. Ann. Band ii. p. 368) that, if the principal axes of 
two complexes are at a perpendicular distance A, and are inclined at an angle <p, while 
the parameters of the complexes are 7c and 7c 1 , the “ simultaneous invariant” of the two 
