23 6 Mr. Knight’s two general propositions 
*(*+“,• y+u>}=<p{x, y ) + 13 ( a I +” , ,)+-r • 
■2 f _A(*> y) 4-w V+— . 2 f ^W lzL^) lafa + w v . 
, ^+Wj=<^ 121 ( u % + w J +T • 
3 3 \ dx dy J 3 3 
_ d <p(*>y) 
dx Z ~ m dy m 
E3(^+w^) 2 +- 
L . 2 ( d3 V {X ’ y) ^ ) IS (; 
•3 \dxl- m dy m ) K 
&c. 
;« ,+ w 3 ) 3 + 
&c. 
These values substituted in the equation A n q>=<p — 
+ ^-0 ive 
J-z k — 2 I,z *3 « — 3 
. \ ^ « n i «(«-— 0 ”(»— 0(«— ■ 2) i 7 
A <p(^ ^)=< pC®» y ) 1 1 — T"i — ti — — r 2 , 3 + 1 
+ 
«4— 2 / ) IS j (« + w ) 7(« + w ) 
“ l tfo 1 ~ m dy m I *- V n ~ n ^ n ~ l ^ «— 
+^(« +w ) 
J .2 ' w 2 * «— 2 ' 
M; 
*&=»/.. •- ) + } 
W — 3 M — l' J 
1.2.3 
d Z <p(z,y 
!23 1 ( u + w y-~-(u + w y 
+ n 32=±(u +w >(»- 2 > (m +w y + l 
* 1.2 v n— 2 * n — z 1.2.3 V M-3 m— 3' ~ J 
+ • rr 2 ( {(» + a> ) 3 — f (tf +a< ) 3 
1 2 -3 \ d ^- m dy m / - " n n —1 n— i 
+W ) 3 - ” ( ”- )( "- g ? (« + H> V>+1 
~ ?.2 V n —2 H~ 2 J r.2. 3 v «— 3 1 «- 3 ' r J 
&c. &c. 
3. Now, by the general formula for the n th difference of a 
variable quantity, (1), 
A n {pc + y) m —(oc -\-y -f- u^~\- wj m 7 (#+y+« M l m \‘ w n X 
+ ” ( ”~ - I -- ) - (c r-j-jy -j- u z J 7 w n X ~~ w ^ ence » ma ^ing <r andy 
vanish. 
