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Como z difiere de z en un infinitamente pequeño de pri- 
mer orden, sin tener en cuenta la diferencia de valores de 
d z y d z, se ve que 
f (z f ) d z ! - — f (z) d z = (f (z r ) — f (z)) d z lt 
representando por áz í un valor medio entre d z y d z : ex- 
presión equivalente á esta otra: 
(f (z) + d z — f (z) ) d z 1 = —— -j~— d z d z,, 
Cl Z u Z 
que es un infinitamente pequeño de segundo orden. 
De donde resulta que la diferencia de las integrales 
r é r 
J curva N J c 
curva N' 
z es único. 
será un infinitamente pequeño de primer orden y en el lími- 
te rigorosamente nula. 
Y como la curva M N M r puede pasar de una posición á 
otra por grados tan pequeños como se quiera, resulta que el 
/ a r 4-b' j/ i 
, f (z) d 
a+b /—l 
Pero no olvidemos las condiciones: porque si f (z) y f fz'), 
á pesar de corresponder á puntos infinitamente próximos, no 
difiriesen en — d z', sino en una cantidad finita , toda la 
demostración caería por su base, pues la diferencia de dos 
elementos correspondientes de las dos integrales ya no sería 
de segundo orden, ni su integral de primero , ni en último re- 
sultado nula. 
Y esto puede suceder si f (z) tiene multiplicidad de valores 
y la curva da vueltas alrededor de un punto de raíces iguales. 
En defecto cae también la demostración precedente si, al 
deformarse, la curva M N M’ pasa por puntos infinitos , es 
decir en que f (z) = a© . 
