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a. m—i 
La cantidad ¡jivX es finita y constante, y — - tiende 
1.2... (m— i) 
á cero, á medida que m crece. Luego 
lim. mod =0: 
k 
lo cual prueba que mj tiende hacia cero, pues una imaginaria 
se anula cuando se anula su módulo. 
Con estos precedentes podemos pasar á la demostración 
del teorema de Liudemann. 
TEOREMA DE LfflDEMAl, 
Sea la ecuación 
(z)=zP-hb 1 zP _1 H-b 2 zP“ 2 H- 4-bp = 0 , 
que supondremos irreducible y cuyos coeficientes b n b 2 , 
b 5 , bpSon númer os enteros, reales ó imaginarios; es decir. 
de la forma general r + s — * 1 , en la cual r y s represen- 
tan números enteros. 
l.° Formemos la ecuación de la suma de las raíces de dos 
i . . , p(p — 1) 
en dos: z t + z 2 , z, + z 5 , : cuyo grado sera — — — — p 2 
1 . u 
Sea esta ecuación S 2 (Z 2 ) = 0: en la cual con el subíndice 2 
significamos que Z 2 es raíz de la ecuación de las sumas dos 
á dos. 
Supongamos para simplificar la demostración que la ecua- 
ción S 2 (Z 2 ) = 0 es irreducible, que no tiene raíces iguales, y 
que ninguna de las raíces Z a ', Z 2 ", Z 2 r " de esta ecuación 
es igual á otra de la propuesta <j> (z), ó á una de la serie 
Z 1? z 2 , z 5 , Zp. 
