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Tendremos evidentemente.* 
,, Z 1 Z 3 , 
M t = e -he -f- 
= Se 
Zk 
■=Se' 
Zj + Z 2 z 4 + z 5 _ z 4 -4- z 2 
Mo — e -j-e -h = 
Zj + Z.-hZg Zl +z 2 + z 4 Z t -hZ 2 + Z 5 Z 3 
M 5 = e +e + — Se — Se 
z. z„ z, 
M D = e xe'xe 
— e 
Zi + z 2 + z 3 -h 
Z p Zn 
= e « 
De donde 
V P -Se Zk 'V P ‘ + Se Z2 .V P Í 4-... + e Zp = 0 (V). 
Si ttV" — 1 pudiese ser raíz de una ecuación irreducible de 
coeficientes enteros 
z p -t- b 1 z p “ 1 -f- b 2 z p_1 -h + b p = 0 , 
formando con tc\/— 1, que sería una de las z, y con las res- 
tantes la ecuación (V), y poniendo en vez de Y una de las raí- 
71 V — '1 *7 7C\/ 1 
ces e de (V) tendríamos, puesto que e =-— 1, 
P P-l z, P-* Zt> 
(_1) — ( — 1) S e k -h(-l) Se 2 
-h e p = 0: 
es decir, una relación lineal de coeficientes enteros entre 
z k z.> z 5 
2 e , Se , 2e lo cual hemos demostrado que es im- 
posible. 
Luego k\J — 1 no puede ser raíz de una ecuación irreduci- 
ble de coeficientes enteros , en que el primer miembro tenga por 
coeficiente la unidad. 
Esto puede generalizarse: tampoco puede ser tz\J — 1 raíz 
de una ecuación irreducible de coeficientes racionales, ó lo 
que es lo igual de coeficientes enteros de esta forma 
p p- 1 p- 2 
b 0 z + b 4 z -h b 2 z 4- ... -h bp =■ 0. 
(b) 
