9 
Am_ í Bm_í funciones lineales de x m _ 1? con coeficientes racio- 
nales de p, q, r... x„ x 2 ,... x m _ 2 ; 
A n _ lt B u _ t funciones lineales de x n _ d , con coeficientes raciona- 
les de p, q, r... x d , x 2 ... x n _ 2 ; 
Con estos antecedentes podemos establecer tres teoremas 
importantes. 
Teorema 1." Una cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo 
Xm-H+A m X m+ i + B m =0, (2) 
no puede ser satisfecha por una función racional 
Xin-)-i— - f (p, q, r... x d , x*,... Xm) 
de los datos y de alguno de los sistemas de raíces de las ecua- 
ciones precedentes. 
Demostración . — Si un valor racional 
x m+ i= f (p, q, r... x d> ... x m ) 
satisficiese á la ecuación (2), poniendo x m+1 en (2) tendríamos 
f 2 +A m f+B in =0; 
pero esta es una función racional de p, q, r... x d ... x m , pues- 
to que f lo es por hipótesis, y lo son A m y B m : luego podrá 
ponerse, empleando el método indicado, bajo la forma lineal 
A m-iXm-l-B 
i—i — 0, 
siendo A r m _i y B' m _ 4 funciones racionales de 
p, q, r... x d ... Xm— i* 
Este valor de x m , sustituido en 
x m -j- A m _,Xm B m _i = 0, daría A m _ 2 X m _ 1 -f-B m— 2 — 0* 
El valor de x m _ d , deducido de la anterior, sustituido en 
x^_ 1 +Am_ 2 X m _ 1 +B m _ 2 = 0 , daría también A 'm-3Xm_2-fB'm_3”0. 
Y así sucesivamente hasta A'x d +B' = 0: es decir que 
x;+A Xj+l) — 0, cuyos coeficientes A y B son funciones racio- 
B r 
nales de p, q, r.., tiene una raíz x f =— función racional de 
