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do, no podrá tener raíces comunes con ninguna ecuación de 
grado menor y cuyos coeficientes sean funciones racionales 
de los datos p, q, r..., conforme la definición de las ecuacio- 
nes irreducibles pide. 
Demostración . —Su pongamos que así no fuese y que tu- 
vieran una raíz común la ecuación 
Xn+An-iXn+Bn^^O, 
y la ecuación F (x n )=0, cuyos coeficientes también supone- 
mos que son cantidades racionales de p, q, r... 
Decir que ambas ecuaciones tienen una raíz común, quie- 
re decir, que un mismo valor de x a satisface á F (x n ) = 0, y 
á Xn+An_ 1 x n +B n _i, poniendo en esta última los valores de 
x l5 x a , x 3 ... x ü _i que con x n forman uno de los 2° sistemas de 
las ecuaciones propuestas. 
Ahora bien, como F (x n )=0 es una función racional y en- 
tera en x n , eliminando, como ya hicimos anteriormente, las 
potencias superiores de x n por medio de Xn+An_iX n +Bn-i=0 > 
tendremos una ecuación lineal en x n , de la forma x u -}- 
B^n_i=0j en la cual A' u _i y B-' n _i serán funciones racionales 
de p, q, r... x is x 2 ... x n _ t (y por eso ponemos á A' n _i, B' n _i 
el subíndice n—1 : para recordarlo): advirtiendo que estas x i7 
x 2 , x 3 ... x u _i. son únicamente los valores que con x n forman 
parle clel sistema á que la raíz común x n pertenece. 
Tendremos, pues, en vez de F (x n )=0, . . A / n_ 1 x a +B / n_ 1 =0. 
Pero es preciso que A'n-i y B^ sean nulas ambas, es 
decir, que la ecuación precedente sea idéntica; porque si no 
la ecuación xl+A Q -i Xn+Bn-j— 0 quedaría satisfecha por el 
valor x n = — 
B' n -, 
A^n— l 
es decir, por una función racional de p, q, 
r... x lf x 2 ... x a _ t : lo cual, por el primero de estos tres teore- 
mas, hemos demostrado que es imposible. 
Tendremos pues: 
A / n _ 1 =0; BV.^0. 
