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Pero el segundo miembro puede descomponerse en dos 
factores, de este modo : 
f(W)= [ N (i__L) (.--L)]x 
el primero de los cuales es igual á cp (N) y el segundo á cp (N 1 )- 
Luego 
(NN J ) = <p(N)X'f (N‘). 
Observaciones . 1. a Este teorema puede evidentemente ex- 
tenderse á un número cualquiera de factores. 
En efecto : 
cp (NN J N") = w (NN 1 ) cp (N <J ) = cp (N) cp (N 1 ) 9 (N 11 ). 
2. a Para que sea general y no tengamos que introducir en 
su enunciado restricción alguna hay que suponer que <p (1)= 1 . 
En efecto : 
© (N) = cp (lxN) = f o (1) Xcp(N) : 
de suerte que es preciso suponer como hemos dicho cp (1) = 1 
para que no resulte un absurdo. 
No se pierda de vista, sin embargo, que esta condición es 
puramente convencional y que sólo sirve para facilitar la 
aplicación de las fórmulas, y no incurrir á cada momento en 
excepciones innecesarias. 
Teorema 2.° Sea un número entero cualquiera N; determi- 
nemos la serie de todos sus divisores simples y compuestos, 
comprendiendo en esta serie la unidad y el mismo número N; 
y para cada uno de estos divisores determinemos la función 
cp: la suma de todas estas funciones, que son otros tantos nú- 
meros enteros, es igual al número propuesto N. 
Demostración. Empezaremos por demostrar que, si el teo- 
rema es cierto para un número compuesto de n factores, igua- 
les ó desiguales, también lo es cuando se agrega un factor 
más, ó para el número compuesto de n- f-1 factores. 
