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Sean, N el número de n factores; 1, d, d', d" N todos 
sus divisores simples y compuestos, comprendiéndola unidad 
y el mismo número N; y a el nuevo factor primo: el nuevo 
número, de w-M factores, será Na. 
Los divisores de Na serán: 
1. ° Todos los divisores de N, á saber: 1, d, d', d" N. 
2. ° Y todos los productos de a por estos divisores: es de- 
cir, a, da, d'a, d"a Na 
En cuanto al divisor a de Na, ya está contado en la serie 
anterior. 
De suerte que la suma de todas las funciones ©, de lodos 
los divisores de Na, será: 
<P (1) + <P (d) + <p (dO + . . . ? (N) + <p (a) + cp (ad) + cp (ad') + ... cp(aN) 
Pero la primera parte 
<p(l) + <p(d) + <p(d') + cp(N), 
puesto que el teorema lo suponemos cierto para n factores, 
será igual á N; y la suma precedente se transforma en esta 
otra, descomponiendo además cada término 
cp(ad), cp(ad') <p(aN) 
en sus dos funciones cp: 
N + <? (a) + cp (d) cp (a) + cp (d') cp (a) + <p(d") cp (a) + ? (N)<p (a) = 
N + (1 + f (d) + T (d<) + í(d") +...+•<? (N)) <r (a) = N + N? (a). 
Ahora bien, siendo a primo , lodos los números menores 
que él son primos con él mismo; y, como estos son en núme- 
ro a — 1, tendremos que 
cp (a) a— 1: 
de donde resulta 
N + Ncp(a) = N + N(a— 1) = Na: 
que es precisamente el nuevo número con un factor más. 
Demostrado esto, puede probarse que el teorema es cierto 
para un solo factor primo. 
En efecto, dado un factor primo a, la serie de sus diviso- 
