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res, comprendiendo el 1 y el mismo número, es 1, a; y la su- 
ma de las funciones cp para todos estos divisores 
<p(l) + ?(a). 
Mas, por convención, cuya importancia vemos ahora, 
¥ tt) = l; 
y además 
cp(a) = a — 1: 
luego 
T(l) +T(a) = 1 + a — 1 = a: 
que es el mismo número propuesto. 
Siendo cierto el teorema para el caso de un factor primo, 
en virtud de lo demostrado anteriormente lo será para el caso 
de dos factores , y así sucesivamente. 
Ejemplo. Sea N = 2 2 x3xb: sus divisores simples y 
compuestos serán: 
1, 2, 4, 3, 6, 12, 5, 10. 20, 15, 30, 60; 
y la suma de sus funciones cp, serán asimismo: 
cp (1) + cp (2) cp (4) + cp (3) + T (6) + cp (12) + cp (5) -f cp ( 10) + 
-f (20) -|-cp(15)-f- cp(30) -|-cp (60) = 1 + 1 + <p(4) + 2 + <p(2)<p(3) + 
+ cp (4) cp(3) + 4 + cp (2) cp (5) + cp (4) cp (5) + cp (3) ? (3) + 
+ cp(2)?(3)?(5) + ? (4)c P (3)cp(5). 
Y obsérvese que hemos podido descomponer las cp de nú- 
meros compuestos en producto de funciones cp de dos ó más 
factores primos entre sí, pero no cuando no lo eran: por ejem- 
plo, á 9 (4) no hubiéramos podido sustituir ¥(2) ? (2), ni, á 
cp (40), el producto cp(2) cp (20). 
Continuando el cálculo numérico, tendremos: 
l+l + 4(l-~ ) +2 + 2 + 4(l L). 2 + 4 + 
+ 4 + 4(l — y).4 + 8 + 8 + í(l— 1-).8 = 
1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 + 4 + 8 + 8 + 8 + 16=60 
que es el número propuesto. 
Observación. De todas estas teorías sólo tomamos lo pura- 
